Основы математической логики Основным понятием математической логики

Основы математической логики

Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания» . Под высказыванием понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обознаются большими латинскими буквами A, B, C, D…. . Логическими значениями высказываний являются «истина» (1) или «ложь» (0).

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым или элементарным: 1. Санкт –Петербург стоит на Неве. 2. Париж — столица Англии.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не» , «или» , «если. . то. . . » , «тогда и только тогда» , называются сложными или составными. Обозначаются F(A, B, C…) Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними.

Логические операции n Конъюнкция n Дизъюнкция n Инверсия n Импликация n Эквивалентность (логическое умножение, «И» ) (логическое сложение, «ИЛИ» ) (логическое отрицание, «НЕ» ) (логическое следование, «Если А, то В» ) (логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В» )

Объединение двух или более высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией

Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные. F(A, B) = A & B или F(A, B) = A * B или F(A, B) = A and B

Таблица истинности для конъюнкции A 0 0 1 1 B 0 1 A B 0 0 0 1

Объединение двух или более высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией.

Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных F(A, B) = A B или F(A, B) = A + B или F(A, B) = A or B

Таблица истинности для дизъюнкции A 0 0 1 1 B 0 1 A B 0 1 1 1

Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным F(A) = ¬A или F(A) = Ā или F(A) = not А

Таблица истинности для инверсии А 0 ¬А 1 1 0

Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией.

Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно Пример: Если выучишь материал, то сдашь зачет Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т. к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой

Таблица истинности для импликации A B A→B 0 0 1 1 1

Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

Таблица истинности для эквивалентности A B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Порядок (приоритетность) действий 1. Действия в скобках; 2. Отрицание; 3. Конъюнкция; 4. Дизъюнкция; 5. Импликация; 6. Эквивалентность.

Пример 1. Построить таблицу истинности для функции F = (А В) (¬A ¬B) Переменных: две (А и В), т. е. N = 2 количество строк: 2 n=22=4. с заголовком: 5 Количество столбцов: 2 переменные + 5 операций ( , , ¬, и ¬). итого 7 1. Порядок операций: 1 5 2 4 3 F = (А В) (¬A ¬B)

F = (А В) (¬A ¬B) A 0 0 1 B 0 1 0 А В 0 А 1 В А В (А В) ( А В) 1 1 0 1 1 1 0 0

Пример 2. Построим таблицу истинности для функции F = X Y ¬Z Переменных: три (X, Y и Z), т. е. n = 3 количество строк: 2 n=23=8. с заголовком: 9 Количество столбцов: 3 переменные + 3 операции ( , , ¬). итого 6 Порядок операций: 3 2 1 F = X Y ¬Z

F = X Y ¬Z X Y Z Z Y ¬Z X Y ¬Z 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

Самостоятельно Составить таблицу истинности для формулы: Переменные Промежуточные логические формулы Формула 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Пример 3. Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения высказываний (x y) (z ¬y) (x y) (z ¬ 1) (x y) (z 0) (0 1 ) (1 0 ) 0 1 0 (ложь)

Формула F(A 1, A 2, …, An)называется тавтологией или тождественно истиной формулой, если при любых значения высказываний A 1, A 2, …, An значение F=1.

Формула F(A 1, A 2, …, An)называется противоречием или тождественно ложной формулой, если при любых значения высказываний A 1, A 2, …, An значение F=0.

Выяснить какая формула является тавтологией, а какая тождественно ложной: 1. А → (В → А); 2. А (¬ (А В).

Формулы F(A 1, A 2, …, An) и G(A 1, A 2, …, An) называются равносильными, если при любых значениях высказываний A 1, A 2, …, An значения истинности формул F и G совпадают. Обозн. F G

Являются ли формулы ¬ (А В) и (¬А) (¬ В) равносильными. А В ¬ (А В) А В ¬А ¬В (¬А) (¬ В) 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

Джуди, Айрис и Линда — пение, балет и кино. Все они живут в разных городах - Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: 1) Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме; 2) парижанка не снимается в кино; 3) та, кто живет в Риме, певица; 4) Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Табличный способ решения логической задачи парижанка не ва. Риме, кпевица та, кто живет в Риме, певицав Джуди живетта, кто живетснимаетсябалету Риме не в Париже, Линда —кино Линда равнодушна в не Город Вид искусства Париж Рим Чикаго + Ответ: + - + Имя Джуди Айрис Линда Пение Балет Кино + - + Айрис – балерина. Она живет в Париже.