Основы логики Основные понятия и операции формальной логики

Основы логики Основные понятия и операции формальной логики Логические выражения и их преобразование Построение таблиц истинности логических выражений Основные логические устройства компьютера 1

Основные определения В основе работы логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат – математическая логика. Она изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Логика - совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Логика очень древняя наука. Еще в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключение о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Высказывание (суждение) – любое утверждение, которое может быть истинно или ложно. Пример: 2 + 8 < 5 5 • 5 = 25 ложно истинно 2

Примеры Пример, не являющийся высказыванием: Уходя, гасите свет. Высказывания, приведенные выше, являются простыми. Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний связками – союзами И, ИЛИ и частицей НЕ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок. Например, даны четыре простых высказывания: На улице идет дождь. На улице светит солнце. На улице пасмурная погода. На улице идет снег. Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию (предикат) аргументами которой являются логические переменные – простые высказывания. 3

Основные определения Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0). Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций. 4

Алгебра логики Информация в компьютере представлена в двоичном виде. Электрический сигнал, проходящий по проводникам (шинам) компьютера рассматривается как импульсный сигнал, который может принимать значения 1 (высокий уровень электрического напряжения) и 0 (низкий уровень напряжения). Этот сигнал может быть описан в виде двоичной переменной. Для решения задач синтеза и анализа электронных блоков ПК используются логические функции и логические операции. Алгебра логики очень проста, так каждая переменная может принимать только два значения: истинно или ложно. Трудность изучения алгебры логики возникает из -за того, что для обозначения переменных применяют символы 1 и 0, которые по написанию совпадают с обычными арифметическими 1 и 0. Логическая 1 не есть одна штука чего-то реального, это знак того, что свершилось какое-то событие. Логическая 1 означает, что какое-то событие истинно, в противоположность этому логический 0 означает, что высказывание не соответствует истине, т. е. ложно. 5

Логические операции Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Действия, совершаемые над логическими переменными для получения определенных логических функций называются логическими операциями. Любое устройство, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассматривать как функциональный преобразователь. Входные числа – значения входных логических переменных, а выходное число – значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию. 6

Логические операции. Конъюнкция В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию. Логическая операция И (КОНЪЮНКЦИЯ ) Обозначается знаком или &, Иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ. Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Пример. A B C = 1, если А=1, В=1, С=1. Таблица истинности конъюнкции имеет вид: A B ------------0 0 1 1 1 7

Логические операции. Дизъюнкция Логическая операция ИЛИ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Обозначается знаком , Иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ. Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. . Пример, A B C = 0, если А=0, В=0, С=0. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид: А В ----------------0 0 1 1 1 0 1 1 8

Логические операции. Инверсия Логическая операция НЕ (ИНВЕРСИЯ) Обозначается черточкой над именем переменной, Иначе называется ОТРИЦАНИЕ. Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Таблица истинности имеет вид: А Ā -------1 0 0 1 В алгебре высказываний любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции. По формуле логической функции легко рассчитать таблицу истинности, необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. 9

Логические операции. Импликация - логическое следование (соответствует обороту речи «если…то» ). В языках программирования обозначается IF, в алгебре логики обозначается ⇒. Импликация - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Импликация каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, которое является ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно. Таблица истинности: 10

Логические операции. Эквивалентность ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом эквивалентности является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Соответствует обороту речи «тогда и только тогда» и обозначается ⇔. Таблица истинности 11

Таблица истинности Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части соответствующие значения логической функции. Значения логической функции при различных сочетаниях входных переменных обычно задается специальной таблицей, которая называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле: Q = 2 n, где n – количество входных переменных. Оно определяет количество строк таблицы. Таблица может иметь вид: 12

Алгоритм построения таблицы истинности 1. Определить количество наборов входных переменных (количество строк) - всевозможных сочетаний значений переменных, входящих в выражения, по формуле: Q=2 n. 2. Определить количество логических операций и последовательность их выполнения. 3. Определить количество столбцов: количество переменных + количество логических операций. 4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов. 5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений. 6. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций с учетом порядка выполнения логических операций: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквивалентность 13

Пример построения таблицы истинности Количество строк Q=23=8 Количество столбцов 6 (3 логические операции и 3 переменных) 14

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Законы логики Закон исключения третьего Закон непротиворечивости Закон двойного отрицания Законы де Моргана Законы повторения Законы поглощения Законы исключения констант 8. Законы склеивания 9. Закон контрапозиции В алгебре логики, как и в элементарной, справедливы законы: переместительный (коммутативный) A B <=> B A сочетательный (ассоциативный) A (B C)<=>(A B) C распределительный (дистрибутивный) A (B C) <=> (A B) (A C) 15

Основные логические устройства компьютера При проектировании и разработке ЭВМ выбирается набор элементов, из которых составляются схемы функциональных устройств. Элементы интегральных схем, реализующие логические операции над двоичными переменными называют логическими элементами. Это триггеры, регистры, сумматоры 16

Триггер Основной элемент ЭВМ – триггер – устройство, имеющее два устойчивых состояния, 0 и 1. Триггер используется для хранения одного бита информации. Из логических элементов и триггеров создаются схемы узлов ЭВМ, функционально предназначенные для выполнения операций запоминания, преобразования, пересылки машинных слов или их частей. К ним относятся регистр, сумматор, счетчик, дешифратор, мультиплексор, таймер и т. д. 17

Регистр – узел ЭВМ, предназначенный для хранения одного машинного слова. Он представляет совокупность триггеров, число которых соответствует числу разрядов в слове и схем, обеспечивающих выполнение ряда операций: сброс (установка в 0), передача и прием слова, сдвиг слова и т. д. в соответствии с типом хранящегося машинного слова регистрам присваиваются наименования, например, регистр команд, индексный регистр, регистр адреса и т. д. 18

Сумматор Сумматор, узел АЛУ, посредством которого осуществляется суммирование чисел. На принципиальных электрических схемах логические элементы изображаются прямоугольниками с обозначением входов и выходов. 19

Вентильные схемы Логический вентиль (вентиль) – это своего рода атом, из которого состоят электронные узлы ЭВМ. Логические схемы предназначены для реализации различных функций алгебры логики и реализуются с помощью трех базовых логических элементов (вентилей, логических схем или так называемых переключательных схем). Логические функции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции реализуют, соответственно, логические схемы, называемые инвертором, дизъюнктором и конъюнктором. 20

Вентильные схемы Условные обозначения вентилей Инвертор Дизъюнктор Конъюнктор 21

Алгоритм построения вентильных схем Определить число логических переменных. Определить количество базовых логических операций и их порядок. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль (базовый логический элемент). Соединить вентили в порядке выполнения логических операций. Пример: составить логическую схему для следующего логического выражения: F=Xv. Y X. 22