Основы логики Логика это наука о способах

Основы логики Логика – это наука о способах получения правильных выводов из исходных интеллектуальных посылок.

Высказывание (утверждение, посылка) – это повествовательное предложение, относительно которого однозначно определено истинно (1) оно или ложно (0). Высказывания бывают: простыми и сложными.

Примеры простых высказываний : A. B. C. D. E. Яблоки растут на яблоне. Солнце светит для всех. В Подмосковье растут хвойные деревья. Все ученики любят информатику. Летом все ночи звездные А=1 В=1 С=1 D=0 E=0

Задание. Выделите высказывания. Определите их истинность или ложность. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Москва расположена между Киевом и Одессой. Который час? Запишите ответ в Мегабайтах. Не все золото, что блестит. Переходите дорогу только на зеленый светофора! 2+х>5 y

Сложные высказывания образуются из простых высказываний при помощи слов, выражающих взаимоотношения между ними «И» , «ИЛИ» , «Неверно, что…» , «Если…, то. . »

Примеры сложных высказываний n n n Наступила осень, и улетают птицы. Летом я поеду на дачу или в туристическую поездку. Неверно, что каждый ученик - отличник. Если я хорошо сдам экзамены, то поступлю в институт. Если число однозначное, то это - цифра

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод) Пример умозаключения: n Все граждане России имеют право на отдых. n Я - гражданин России. n Я имею право на отдых.

Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математики, предметом которого является формализация умозаключений и способы установления их истинности. При этом можно определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

Логические выражения Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций. Например: А B «А и В» «А или В» «Если А, то В» «Неверно, что А и В» Хорошо знаешь Хорошо объясняешь Хорошо знаешь и хорошо объясняешь Хорошо знаешь или хорошо объясняешь Если хорошо знаешь, то хорошо объясняешь Неверно, что хорошо знаешь и хорошо объясняешь

Таблицы истинности Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и результатами логических операций над ними

Внешний вид таблицы А В 0 0 1 1 1 Аи. В А или В Если А то В Неверно, что А и В

Основные логические операции n n n Инверсия (отрицание) Конъюнкция (логическое умножение) Дизъюнкция (логическое сложение) Импликация (следование) Эквивалентность (логическое равенство)

Инверсия (логическое отрицание. ) Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Обозначение инверсии: НЕ А; ¬А; NOT A;

Таблица истинности: А не А 1 0 0 1

Конъюнкция (логическое умножение) Конъюнкцией высказываний А, В называется высказывание «А и В» , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти высказывания. А И В; А · В; А AND B; Имеет смысл пересечения множеств

Примеры Aи. B A B 220 В

Конъюнкция Таблица истинности: А В Аи. В 0 0 1 1 1

Дизъюнкция (логическое сложение) Дизъюнкцией высказываний А, В называется высказывание «A или В» которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний. А ИЛИ В; А В; A OR B Можно представить в виде объединения множеств

КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА? Кран А Кран В Примеры Открыт кран А ИЛИ Открыт кран В

Дизъюнкция Таблица истинности: А В А или В 0 0 1 1 1 0 1 1

Как запомнить:

Исключающее ИЛИ истинно если его операнды различаются и ложно – если они совпадают. Обозначение: A ⊕ B; A xor B,

Исключающее ИЛИ Таблица истинности: A B A xor B 0 0 0 1 0 1 1 0

Импликация (логическое следование) Импликацией высказываний А, В называется высказывание «если А, то В» , которое ложно тогда, когда А истинно, а В ложно. Обозначается импликация: А В, А В.

Импликация Таблица истинности: А В Если А то В 0 0 1 1 1

Эквивалентность (логическое равенство) Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Обозначение эквивалентности: А В, А В.

Эквивалентность Таблица истинности А В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Диаграммы Эйлера-Вена А·В А В А+В А→В А↔В

Задачи 1. Для какого слова истинно высказывание: ¬(Первая буква слова согласная (Вторая буква слова гласная V Последняя буква слова гласная)) 1) ГОРЕ 2. 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН Ответ: № 2 Укажите, для какого слова истинно высказывание: (Первая буква слова гласная V Пятая буква слова согласная) Вторая буква слова гласная. 1)АРБУЗ 2) ОТВЕT 3) КРЕСЛО 4) ПРИВАЛ Ответ: № 4

Задачи 1. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((Х>3) (Х>4))? 1)1 2. 4)4 2) 200 3) 300 4)400 Для какого из указанных значений X истинно высказывание ((Х<5) V (X>5)) (Х>15)? 1)1 4. 3)3 Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((Х>56) (Х>198)) (Х<369)? 1)100 3. 2)2 2)5 3)10 4)15 Для какого из указанных значений X ложно высказывание ((Х>3) (Х>6)) V (¬(X<4) (Х<5))? 1)5 2)2 3)3 4)4

Логические функции Составные высказывания можно записать в виде функции и построить для них таблицу истинности. Например: F=(A B) ( A B) А В A B ( A B) (A B) ( A B) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0

Задачи В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &. 1) 2) 3) 4) принтеры & сканеры & продажа принтеры | сканеры | продажа Ответ: 1234

Задачи Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: А) Макс победит, Билл – второй; В) Билл – третий, Ник – первый; С) Макс – последний, а первый – Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен. ) A B Джон Ник Билл 2 1 3 Макс 1 C 1 4 Ответ: 3124

Логические схемы Любое устройство компьютера, выполняющее обработку или хранение информации, может быть представлено в виде схемы, собранной из базовых логических элементов. A не A A B & F=A и B A B 1 F=A или B

Пример построения схемы Построить схему для логической функции F(x, y, z)=(x и y) или z X & Xи. Y 1 F= (X и Y) или Z Y Z Задание

Задание. Построить таблицы истинности и схемы для логических функций: 1. 2. 3. F = не (А и ( не В)) F = A & не В или не А F (x, y, z)=(x и y и z) или не z

Приложение 5 Импликация (высказывание): n n n А – на улице дождь В – асфальт мокрый А B – если на улице дождь, то асфальт мокрый

Приложение 6 Импликация (таблица): Высказывания А, В Значение А В Дождя нет Асфальт сухой истина Дождя нет Асфальт мокрый истина Дождь идет Асфальт сухой ложь Дождь идет Асфальт мокрый истина