Основы логики Лекция
Логика – это наука, изучающая формы и законы мышления, закономерности мыслительного процесса. Слово «логика» произошло от греческого logos, что означает слово, понятие, рассуждение, разум. Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой) и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что из истинных исходных утверждений всегда получаются истинные заключения.
Логика высказываний Наиболее простой раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют также исчислением высказываний. Основным понятием этого раздела логики естественно является высказывание.
Высказывания Высказыванием называется всякое утверждение (повествовательное предложение), про которое всегда определенно и объективно можно сказать, является ли оно истинным или ложным. Например, предложения «Дважды два - четыре» , « 3 больше 5» , «Уголовное дело отправлено на доследование» - являются высказываниями. Высказывания обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C и т. д. Например, В – « 3 больше 5» . Будем полагать значение истинного высказывания равным 1, а ложного – равным 0 (иногда для обозначения истинности и ложности высказываний используют буквы И и Л, или t и f).
Сложные (составные) высказывания С помощью союзов «и» , «или» , «если, то» , частицы «не» из нескольких высказываний можно составить различные новые высказывания. При этом исходные высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми (элементарными), а сконструированные при помощи логических связок – сложными (составными). В определенной ситуации истинность или ложность простых высказываний очевидна. Для определения истинности сложных высказываний необходимо не только знать, истинны или ложны простые высказывания, из которых построены сложные, но и проанализировать их структуру. Разрешение вопроса об истинности или ложности сложных высказываний, рассматриваемого на основе изучения способа их построения из элементарных, является основной задачей логики высказываний.
Определение логических операций 1. Операция отрицания. Самая простая логическая операция, применяемая только к одному высказыванию, которой в русском языке соответствует частице «не» . Отрицание высказывания А обозначается А или Ā. Символ читается «не А» или «не верно, что А» . Например, если высказывание А – «подсудимый виновен» , то Ā - «подсудимый не виновен» . По смыслу, отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному, т. е. высказывание Ā истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Таблица истинности высказывания Ā: А Ā 1 0 0 1
Определение логических операций 2. Дизъюнкция высказываний Операция дизъюнкция применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «или» . Дизъюнкция обозначается с помощью знака , который ставится между высказываниями: А В, что читается «А или В» . Например: «Договор может быть заключен в устной или в письменной форме» . Дизъюнкция А В – сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно ложны. Таблица истинности операции дизъюнкция будет следующей: А В 1 1 0 0 0
Определение логических операций 3. Конъюнкция высказываний Операция конъюнкция применяется также к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «и» . Она обозначается с помощью знака или , который ставится между высказываниями: А В, что читается «А и В» или «и А, и В» . Например, «Юрист должен знать и теорию государства и права, и историю, и информатику и математику» . Конъюнкция А В – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Таблица истинности операции конъюнкция такова: А В 1 1 0 0 0 1 0 0
Определение логических операций 4. Импликация высказываний Операция импликация соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если …, то …» . Импликация обозначается с помощью знака , ставящегося между высказываниями: А В, что читается «А имплицирует В» или «если А, то В» , «А влечет В» , «из А следует В» , «В только если А» . Пример: Гражданский кодекс РФ: «Если банк отказывает в принятии документов. . . , то он обязан незамедлительно проинформировать об этом получателя средств» . Импликация высказываний А и В (А В) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно. Таким образом, таблица истинности импликации такова: А В 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Определение логических операций 5. Эквивалентность высказываний Эта операция обозначается символом , либо . Сложное высказывание А В читается: "А эквивалентно В", либо "А равносильно В", либо "А тогда и только тогда, когда В", либо "В, если и только если А". Пример: «Деяние кража равносильно тайному хищению чужого имущества» . Эквивалентность высказываний А и В (А В) – сложное высказывание, которое истинно, когда А и В одновременно либо истинны, либо ложны и ложно во всех других случаях. Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности: А В 1 1 0 0 0 1
Логические формулы. Применяя введенные логические операции можно из простых высказываний составить высказывания сколь угодно сложного вида. Например, A В С; (A ) ; B (С B) (A B) С и т. д. Такие высказывания называются логическими формулами, а входящие в них простые высказывания – логическими переменными. Символы , , называют логическими связками. Значение истинности сложной логической формулы при всевозможных комбинациях значений логических переменных, составляющих эту формулу, удобно вычислять с помощью таблицы истинности.
Построение таблицы истинности для сложного высказывания: (A Ā ) Ā. (A ) A А В 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 Жирной чертой отделяем значения исходных переменных от вычисляемых значений по определениям логических операций. Если в сложном высказывании – n простых, то логических возможностей – строк таблицы истинности будет 2 n (Для 2 -х 2 n=4; для 3 -х - 2 n=8 и т. д. ). То есть если логическая формула состоит из трех переменных А, В и С, то строк в таблице истинности будет 8.
Равносильные логические формулы Рассмотрим следующую логические формулы (А В) (В А) и А В. Построим таблицы истинности данных формул. А В В А (А В) (В А) 1 1 1 0 0 1 1 1 А В 1 1 0 0 0 1 Если сравнить построенные таблицы истинности, то окажется, что при одних и тех же значениях переменных А и В значения одинаковы. Такие логические формулы называются равносильными. Равносильность формул обозначается с помощью знака : А В (А В) (В А).
Основные законы логики А В В А Коммутативные законы А (В С) (А В) С Ассоциативные законы А (В С) (А В) (А С) Дистрибутивные законы А А А Законы идемпотентности А (А В) А Законы поглощения Законы де Моргана А 0 А А 1 1 А 0 0 Операции с константами Приведенные законы, во-первых, можно рассматривать как свойства операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. А, во-вторых, эти законы служат для упрощения сложных логических формул.
Пример: При допросе свидетеля следователь получил следующие показания: «Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала» . Из этих высказываний он сделал следующее логическое заключение: «Она его спросила» . Верно ли оно? Решение. Сделаем обозначения высказываний: А – «он ей сказал» , В – «она узнала» , С – «она спросила» . В этих обозначения логическая посылка «Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы» запишется так , посылка «Не спроси она его, он бы и не сказал» . Нам нужно показать следует ли из , и В заключение C (т. е. если все показания истинны, то и заключение истинно). Как и ранее построим таблицу истинности всех высказываний. А В С 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 Логические посылки , и В одновременно истинны лишь в первой строке таблицы. В этой строке высказывание С также истинно. Значит, высказывание С является логическим следствием высказываний данных высказываний. Таким образом, сделанное следователем заключение – верное.