Основы логики и логические основы компьютера Первые учения

Основы логики и логические основы компьютера Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия). В основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Формы мышления Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания. Логика — это наука о формах и способах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта, выделяющие, отличающие его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество. «компьютер» «автомобиль» Содержание понятия совокупность существенных признаков объекта. Содержание понятия «персональный компьютер» : «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя» . Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

Высказывание Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Не может быть повелительным или вопросительным предложением, т. к. оценка его истинности или ложности невозможна. Естественный язык: «Два умножить на два равно четырем» Формальный язык: « 2 • 2 = 4» . Истинное высказывание (true): связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. «Процессор является устройством обработки информации» . Ложное высказывание (false): не соответствует реальной действительности. «Процессор является устройством печати» . Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними (истина или ложь). На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания. «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» Иногда истинность высказывания является относительной (компьютер).

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). «Все углы треугольника равны» «Этот треугольник равносторонний» Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность высказываний не вникая в их содержание. «Отцом» алгебры высказываний является Джордж Буль Суждения (простые высказывания) - логические переменные А = «Два умножить на два равно четырем» . В = «Два умножить на два равно пяти» . В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Логические константы Истина — 1 (А = 1) Ложь — 0 (В = 0) Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина, которая может принимать значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Для образования сложных высказываний используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» , «или» , «не» .

Логическое умножение (конъюнкция) Операция логического умножения или конъюнкция: объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» (“&” либо “Λ”). Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. « 2*2=5 и 3*3=10» « 2*2=5 и 3*3=9» « 2*2=4 и 3*3=10» « 2*2=4 и 3*3=9» Составное высказывание F=A&B Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов Таблица истинности функций логического умножения А В F=A&B 0 0 1 1 1

Логическое сложение (дизъюнкция) Операция логического сложения или дизъюнкция - объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» ( «v» либо «+» ). Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний. « 2*2=5 или 3*3=10» « 2*2=5 или 3*3=9» « 2*2=4 или 3*3=10» « 2*2=4 или 3*3=9» Составное высказывание F = A v В А Таблица истинности функции логического сложения В F=Av. В 0 0 1 1 1 0 1 1

Логическое отрицание (инверсия) Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией (- над переменной). Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным (Ā) F=Ā А — «Два умножить на два равно четырем» — истина F — «Два умножить на два не равно четырем» — ложь Таблица истинности функции логического отрицания А F=Ā 0 1 1 0

Импликация и эквивалентность Импликация (логическое следование). Двухместная операция: А →В. Соответствует союзам если. . , то, когда. . , тогда, коль скоро…, то и др. Эквивалентность (логическое равенство). Языковой аналог – союзы если и только если, тогда и только тогда, когда… Обозначается знаками ≡ или ↔ А В А →В А≡В И И И Л Л Л И И

Логические выражения и таблицы истинности Логические выражения = логические переменные (высказывания) + знаки логических операций (логические функции). Составное высказывание «(2*2 = 5 или 2*2 = 4) и (2*2 ≠ 5 или 2*2 ≠ 4)» А = « 2*2 = 5» — ложно (0) В = « 2*2 = 4» — истинно (1) Составное высказывание: (А v В) ∩ (А v В) Последовательность выполнения логических операций: 1. инверсия 4. импликация 2. конъюнкция 3. дизъюнкция 5. эквивалентность Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки: F = (A v B)&(Ā v В) Истинность или ложность составных высказываний определяется формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний. F = (A v B)&( Ā v В) = (0 v 1)&(1 v 0) = 1 & 1 = 1

Алгоритм построения таблицы истинности Последовательность действий при построении таблиц истинности: 1. необходимо определить количество строк в таблице истинности, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно n, то количество строк — 2 n. (Функция F = (Av. B)&(Āv. B) имеет 2 переменные - количество строк должно быть равно 4). 2. необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций. (Количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти - количество столбцов таблицы равно семи) 3. необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных 4. необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

Таблица истинности логической функции F=(Av. B)&(Āv. B) А В Av. B (Av. B)&(Av. B) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0

Сравнение логических выражений Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=» . Докажем, что логические выражения А&В = Av. B. Построим сначала таблицу истинности логического выражения А&В, а затем Av. B Таблица истинности логического выражения А&В Таблица истинности логического выражения Av. B А В А&В А В Av. B 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны: А&В = Av. B.

Определить истинность формулы F=((C v B) → B) & (A & B) → B 1 – истина, 0 - ложь А В С (C v B) → B A&B ((C v B) → B) & (A & B) F 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Определить истинность формулы (А v В) →В) & (А v В)

Найти ошибки в таблице истинности (А v В) →В) & (А v В) А В не А не В Аv. В (А v В) →В) & (А v В) 1 1 0 0 1 1 0 /1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 /1 1 /0 /1 0 1 /0

Задачи: 1) Вычислить значение логической формулы: не Х и Y или Х и Z 1)не Х и Y = ложь 2)Х и Z = истина 3) ложь или истина=истина 2) Используя логические операции, записать высказывания, которые являются истинными, при выполнении следующих условий: а) Y не является max(Х, Y, Z) и не является min (Х, Y, Z); б) каждое из чисел Х, Y, Z положительное а) не((Y≥X) и (Y≥Z)) и (не((Y≤X) и (Y≤Z) б) (X>0) и (Y>0) и (Z>0) 3) Сформулировать высказывания на естественном языке для логических выражений: а) (X>0 и Х<1) или (Х<10 и X>5) б) (0<Х) и (Х≤ 5) и (не (Y <10) а) на координатной оси точка Х может принадлежать диапазону от 0 до 1 или от 5 до 10 б) Х больше 0 и меньше или равен 5, а Y – меньше 10

Логические законы Закон тождества Закон непротиворечия А=А А&А=0 Закон исключённого третьего (либо истина, либо ложь) Закон двойного отрицания Аv А=1 = А=А Законы де Моргана Закон коммутативности: Закон ассоциативности: А&В = В&А Аv. В=Вv. А (А&В)&С = А&(В&С) (А v В) v С = В v (А v С) Закон дистрибутивности (в отличие от обычной алгебры за скобки можно выносит и общие слагаемые): Относительно сложения (А&В) v (А&С) = А&(В v С) Относительно умножения (А v В) &(А v С) = А v(В & С)

Преобразования логических переменных Недостаток табличного способа определения истинности: большое количество логических переменных даёт большое количество вариантов. Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных. = 1. А ≡ А 2. (A&B)≡Av. B 4. (A→B)≡A&B 5. A→B≡Av. B 7. A&(Av. B)≡A 10. Av. A&B ≡Av. B 3. (Av. B)≡A&B 6. A↔B≡(A&B)v(A&B) ≡(Av. B)&(Av. B) 8. Av. A&B ≡A 9. A&(Av. B) ≡A&B 11. A&B ≡B&A; Av. B ≡Bv. A 12. (Av. B)v. C ≡Av(Bv. C); (A&B)&C ≡A&(B&C) 14. A&(Bv. C)≡(A&B)v(A&C); Av(B&C) ≡(Av. B)&(Av. C) 15. Av 1 ≡ 1; A&1 ≡A; Av. A ≡ 1 13. Закон идемпотентности Av. A ≡A; A&А ≡A 16. A&0 ≡ 0; A&A ≡ 0

Логические основы устройства компьютера Базовые логические элементы: «И» , «ИЛИ» , «НЕ» Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы: 1 и 0 Преобразование сигнала логическими элементами задаётся таблицей состояний (идентична таблице истинности) На входы А и В подаются два сигнала (00, 01, 10, 11) А(0, 0, 1, 1) И F(0, 0, 0, 1) В(0, 1, 0, 1) А(0, 0, 1, 1) ИЛИ В(0, 1, 0, 1) А(0, 1) НЕ F(1, 0) F(0, 1, 1, 1)

Построить логическую схему выражения: х4 и (х1 и х2 и х3 или не х2 и не х3) и х1 и или х2 не х3 не и и х4 Построить логические схемы следующих выражений и вывести результат: (А v В) →В) & А F=(A v B)&(A & B)

(А v В) →В) & А А 1 0 не 1 и 1 В не или 0 1 = 0 1 1 F=(A v B)&(A & B) A&B А НЕ И В ИЛИ Av. B A&B И (Av. B)&(A&B) 0

Выводы 1. Логика — это наука о формах и способах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. 2. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение. 3. Алгебра высказываний позволяет определить истинность или ложность высказываний не вникая в их содержание. В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0). 4. Для образования сложных высказываний используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» , «или» , «не» . 5. В алгебре логики действуют те же законы, что и в обычной алгебре: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный. А так же равносильности, тождества, непротиворечия, двойного отрицания, исключения третьего. 6. Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинаций трёх основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов «И» , «ИЛИ» , «НЕ» .