Основы логики и логические основы компьютера Логика

Основы логики и логические основы компьютера

Логика – это наука о формах и способах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания.

Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний. Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание может принимать только одно из двух логических значений – истинно (1) или ложно (0). Истинным будет высказывание, в котором правильно отражаются свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, если оно не соответствует реальной действительности.

Примеры высказываний: n Земля – планета Солнечной системы. n 3+6=10 Почему следующие предложения не являются высказываниями: n Уходя, гасите свет. n Какого цвета этот дом? n Посмотрите в окно.

Высказывания бывают простые и сложные. Простое высказывание (логическая переменная) содержит только одну простую мысль. Логические переменные обычно обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C … Например, А={Квадрат – это ромб}

Сложное высказывание (логическая функция) содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Например, F(A, B)={Лил дождь, и дул холодный ветер} А В F(A, B)={Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати.

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры логики.

Алгебра логики n n n Алгебра логики была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность сложных (составных) высказываний, не вникая в их содержание. В алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и» , «или» , «не» .

Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности) Таблица истинности – таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

n - - Основные логические операции: Отрицание (инверсия), от латинского inversio – переворачиваю: соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО; обозначение: не А, Ᾱ, ¬А; таблица истинности: А F=Ᾱ 0 1 1 0

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное высказывание истинным. - А={25+25=50} Ᾱ={Неверно, что 25+25=50} - А={25+25=51} Ᾱ={Неверно, что 25+25=51}

n - Логическое сложение (дизъюнкция), от латинского disjunctio – различаю: соответствует союзу ИЛИ; обозначение: +, или, v; таблица истинности: А В F= Av. B 0 0 1 1 1 0 1 1

Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции) ложно тогда и только тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания. - F={2+2=4 или 3+3=7}; F={2+2=5 или 3+3=6}; F={2+2=4 или 3+3=6}; F={2+2=5 или 3+3=7};

n - Логическое умножение(конъюнкция), от латинского conjunctio – связываю: соответствует союзу И; обозначение: х, &, и, ; таблица истинности: А В F= A B 0 0 1 1 1

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции) истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. - F={2+2=5 и 3+3=6}; - F={2+2=4 и 3+3=7}; - F={2+2=5 и 3+3=7}; - F={2+2=4 и 3+3=6};

Даны два высказывания: А={Число 5 - простое} В={Число 4 - нечетное} Очевидно, что А=1, В=0. В чем заключаются высказывания: а) Ᾱ ={Число 5 – не простое} б) ¬В ={Число 4 - четное} в) А۸В ={Число 5 – простое и число 4 - нечетное} г) Аv. В ={Число 5 – простое или число 4 нечетное} Какие из этих высказываний истинны?

По мишеням произведено три выстрела. Рассмотрим высказывание: Рk={мишень поражена k-м выстрелом}, где k=1, 2, 3. Что означают следующие высказывания: а) Р 1 v Р 2 v Р 3 Мишень поражена первым выстрелом или вторым выстрелом или третьим выстрелом. б) Р 1 Р 2 Р 3 Мишень поражена и первым выстрелом, и вторым выстрелом, и третьим выстрелом. в) Неверно, что мишень поражена первым выстрелом или вторым выстрелом или третьим выстрелом.

Логические выражения и таблицы истинности. Составные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, которая состоит из логических переменных, обозначающих высказывания, и знаков логических операций. Логические операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Скобки позволяют этот порядок изменить:

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними. Запишем в форме логического выражения составное высказывание (2 • 2=5 или 2 • 2=4) и (2 • 2≠ 5 или 2 • 2≠ 4) и проанализируем полученное составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания: А={2 • 2=5} – ложно (0) В={2 • 2=4} – истинно (1) Тогда составное высказывание можно записать в следующем виде: (А В) ( А В). Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры логики, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний. Подставив в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции: F = (А В) ( А В) =(0 1) (1 0) = 1 1 = 1.

Значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности) Таблица истинности – таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Построение таблиц истинности: 1) Определить число переменных; 2) Определить число строк в таблице истинности; 3) Записать все возможные значения переменных; 4) Определить количество логических операций и их порядок; 5) Записать логические операции в таблицу истинности и определить для каждой их значение.

Составим таблицу выражения истинности для логического Построим исходную таблицу. Количество переменных n=2, следовательно, количество строк N=2 n=4. Воспользовавшись таблицами истинности логических операций, заполним полученную таблицу А В (Av. B) Ᾱ ¬В 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Таким образом можно определить значение любой логической функции.

Пример. Составить таблицу логического выражения истинности ¬(А ۸¬В) v. С А v ¬В ۸С А В С ¬В (А ۸¬В) ¬(А ۸¬В) v. С 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 для

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: Х, У, Z. Дан фрагмент истинности выражения F: Х У Z F 1 0 0 0 1 1 0 0 Какое выражение соответствует F ? 1) ¬Х ۸ ¬У ۸ Z 3) Х v ¬У v ¬Z 2) Х ۸ У ۸ ¬Z 4) ¬Х v ¬У v Z

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: Х, У, Z. Дан фрагмент истинности выражения F: Х У Z F 0 1 1 1 1 Какое выражение соответствует F ? 1) ¬Х ۸ У ۸ Z 2) ¬Х v У v ¬Z 3) Х ۸ ¬У ۸ ¬Z 4) ¬Х v ¬У v Z

Другие логические операции Импликация (логическое следование), от латинского implicatio – тесно связываю: - соответствует речевому обороту ЕСЛИ … ТО - обозначение: , ; - таблица истинности: А В F= A B 0 0 1 1 1

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание) n Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание, и второе высказывание. n Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Эквивалентность (логическое равенство), от латинского aequivalens – равноценное: - соответствует речевому обороту ЭКВИВАЛЕНТНО - обозначение: =, , ; - таблица истинности: А В F= A B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. Рассмотрим два высказывания: А={Компьютер может производить вычисления} и В={Компьютер включен}. Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны: {Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен}. {Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен}.

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое ложно: {Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен}. {Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен}.

Таблица истинности логических функций двух аргументов. А В А А В А В инверсия конъюнкция дизъюнкция импликация эквивалентность 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Порядок выполнения логических операций: операция в скобках, отрицание, логическое умножение, логическое сложение, импликация, эквиваленция.

n n n Доказать, используя таблицы истинности, что операция эквивалентности А В равносильна логическому выражению: (А В) ( А В). Доказать, используя таблицы истинности, что.

Решение задач Для какого имени истинно высказывание (Первая буква имени гласная Четвертая буква имени гласная согласная) : 1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР Решение: Поскольку данное высказывание истинно, его отрицание (Первая буква имени гласная Четвертая буква имени согласная) ложно. Это высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда левая часть его (Первая буква имени гласная) истинна, а правая (Четвертая ( буква имени согласная) – ложна. То есть , первая и четвертая буквы имени – гласные. Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН.

2. Какое логическое выражение равносильно выражению (А В) : 1) А В 2) А В 3) ( А) ( В) 4) ( А) В Решение: Составим таблицу истинности для всех выражений А В Ᾱ В А В (А В) Av. B А В ( А) ( В) ( А) В 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 Ответ: 4)

3. Для какого из указанных значений числа Х истинно высказывание (Х>4) ((X>1) (X>4)) : 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение: Подставим последовательно варианты ответов в исходное выражение и вычислим его значение (1>4) ((1>1) (1>4)) =0 (0 0)=0 1=1 (2>4) ((2>1) (2>4)) =0 (1 0)=0 0=0 (3>4) ((3>1) (3>4)) =0 (1 0)=0 0=0 (4>4) ((4>1) (4>4)) =0 (1 0)=0 0=0 Ответ: 1)

Логические законы и правила преобразования логических выражений Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре логики законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений. Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: А ( А)=0

n n n Закон исключения третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина» : А ( А)=1 Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: ( А)=А Законы де Моргана.

n n Закон коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре логики можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения: А В = В А Закон ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять: (А В) С=А (В С)

Закон дистрибутивности. В отличии от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре логики можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые: (А В) (А С) = А (В С) (А В) (А С )= А (В С) Полезно также знать формулу для выражения импликации через отрицание и логическое сложение А В= А В n Пример. Упростить логическое выражение: (А В) Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А: А (В В). По закону исключения третьего (В В)=1, следовательно: А (В В)=А 1=А n

1. Упростить логические выражения: а) (А А) В Решение: (А А) В = 1 В = В б) А (А В) (В В) Решение: А (А В) (В В) = А (А В) 0 = 0

Решить следующие логические задачи: 1. Для какого символьного выражения неверно: Первая буква гласная (Третья буква согласная)? 1) abedc 2) becde 3) babas 4) abcab 2. Для какого имени истинно высказывание: (Первая буква имени согласная Третья буква имени гласная)? 1) Юлия 2) Петр 3) Алексей 4) Ксения 3. Для какого из значений числа У высказывание (У<5) ((Y>1) (Y>5)) будет истинным? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

4. Для какого символьного выражения верно: (Первая буква согласная) (Вторая буква гласная)? 1) abcde 2) bcade 3) babas 4) cabab 5. Какое из приведенных названий животных удовлетворяет логическому условию В слове пять букв Четвертая буква гласная? 1) Зебра 2) Слон 3) Кабан 4) Олень 6. Для какого из значений числа У высказывание ((У<2) (Y>4)) (Y>3) будет ложным? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

7. Для какого из названий животных ложно высказывание: Четвертая буква гласная (Вторая буква согласная)? 1) Собака 2) Жираф 3) Верблюд 4) Страус 8. Для какого имени ложно высказывание: Первая буква гласная Четвертая буква согласная? 1) Петр 2) Алексей 3) Наталья 4) Елена 9. Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию Первая буква гласная Четвертая буква согласная В слове четыре буквы? 1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья