ОСНОВЫ ЛОГИКИ АЛГЕБРА в широком смысле этого

ОСНОВЫ ЛОГИКИ

АЛГЕБРА в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными буквами А = {Аристотель – основоположник логики} В = {На яблонях растут бананы} Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности. содержание дальше

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение) • В естественном языке соответствует союзу и • В алгебре высказываний обозначается & • В языках программирования обозначается and

Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. • • А = {10 делится на 2 и 5 не больше трех} В = {10 не делится на 2 и 5 больше трех} С = {10 делится на 2 и 5 больше трех} D = {10 не делится на 2 и 5 не больше трех} А=1 0=0 В=0 1=0 С=1 1=1 D=0 0=0

Таблица истинности А В 0 0 1 1 1 содержание дальше

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение) • В естественном языке соответствует союзу или. • В алгебре высказываний обозначается • В языках программирования обозначается or.

Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них. • • А = {10 делится на 2 или 5 не больше трех} В = {10 не делится на 2 или 5 больше трех} С = {10 делится на 2 или 5 больше трех} D = {10 не делится на 2 или 5 не больше трех} A=1 0=1 B=0 1=1 C=1 1=1 D=0 0=0

Таблица истинности А В 0 0 1 1 1 0 1 1 содержание дальше

Логическая операция ОТРИЦАНИЕ (инверсия) • В естественном языке соответствует частице не. • В алгебре высказываний обозначается А, А • В языках программирования обозначается not

Отрицание – это логическая операция, которая каждому простому истинному высказыванию ставит в соответствие ложное высказывание.

Пример • А = {Луна – спутник Земли} • А = {Луна – не спутник Земли}

Таблица истинности А 0 1 1 содержание А 0 дальше

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) • В естественном языке соответствует обороту если …, то …. • В алгебре высказываний обозначается → • В языках программирования не используется

Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Пример. Даны высказывания. • А = {Данный четырехугольник - квадрат} • В = {Около данного четырехугольника можно описать окружность} Рассмотрим составное высказывание А → В , понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность» . Есть три варианта, когда высказывание А → В истинно

1. А истинно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность; 3. А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность; Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка «если …, то» описывает причинноследственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смеяться над бессмысленностью импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США – демократ, то в Африке водятся жирафы» или «если арбуз ягода, то в бензоколонке есть бензин»

Таблица истинности А В А→В 0 0 1 1 1

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) • В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае • В алгебре высказываний обозначается • В языках программирования не используется

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

Пример. Определить истинность высказываний. А = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3} А=1 1=1 В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3} В=0 0=1 С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5} С=1 0=0 D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3} D=0 1=0

Таблица истинности А В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Законы алгебры логики название двойного отрицания исключения третьего операции с константами повторения поглощения переместительный сочетательный распределительный правила де Моргана для ИЛИ

Разминка (упростите логические выражения) • 1 группа • 3 группа • 2 группа • 4 группа 1 группа 2 группа 3 группа 4 группа 1)В 1)А & С 1)В 1)С 2) А 2) В 2) С & А 2) С 3)А v С, 3)В , 3)А & B, 3) А v С,

Задания группы А 8 Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана. 1) Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬(A B) ¬C? 1) ¬A B ¬C 2) (¬A ¬B) ¬C 3) (¬A ¬B) C 4) ¬A ¬B ¬C

Решение 1) Применим закон де Моргана. Получим: 2) Сравним результат с предлагаемыми ответами 1) ¬A B ¬C 2) (¬A ¬B) ¬C 3) (¬A ¬B) C 4) ¬A ¬B ¬C 3) Таким образом, правильный ответ – 2

Задания группы А 9 Построение таблиц истинности логических выражений. 2) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: X Y Z F Какое выражение соответствует F? 1 0 0 1 1)¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z 0 0 0 1 1 0

Решение 1)¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z X Y Z F 1 0 0 1 0 × 1 1 0 0 0 1 – – 0 × 1 – – – 0 1 1 1 0 Таким образом, правильный ответ – 4

Задания группы А 7 Основные понятия математической логики. 4) Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение 1) Определим порядок действий: 4 1 3 2 ¬((X > 2)→(X > 3))? 2) Выполняем операции для всех приведенных возможных ответов. Строим таблицу истинности: X X>2 1 2 3 4 0 0 1 1 X > 3 (X > 2)→(X > 3) ¬((X > 2)→(X > 3)) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0

Задания группы А 7 Основные понятия математической логики. 5) Для какого имени истинно высказывание ¬(ПЕРВАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ ВТОРАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ) ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА ГЛАСНАЯ? 1) РОМАН 2) ЮНОНА 3) АНДРЕЙ 4) КРИСТИНА

Пример Составить таблицу истинности для формулы ¬ (B / C) V (A/C B) Решение: A B C (B / C) ¬ (B / C) A/C (A/C B) ¬ (B / C) V (A/C B) 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно тождественно-истинным принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно тождественно-ложным принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

Решение логических задач

Как решать логические задачи ? Три способа решения логических задач: 1. 2. 3. Средствами алгебры логики Табличный С помощью рассуждений

Решение задач средствами алгебры логики 1. 2. 3. 4. Схема решения: Изучается условие задачи Вводится система обозначений Составляется логическая формула Определяется значения логической формулы

Задача «История Нового года» Три друга обсуждали историю Нового года, при этом каждый сказал следующее: • Празднование Нового года с 1 января установили во Франции в 45 году до Рождества Христова (Юлием Цезарем) • Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 1659 году указом Карла IX • Празднование Нового года с 1 января установили во 2 веке и не французы Оказавшийся рядом знаток истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предложений. Где и в какое время было установлено празднование Нового года с 1 января?

Задача «История Нового года» Обозначения: Ф – французы Р – римляне К – Карл IX в 1659 Ц – Цезарь В – 2 век

Задача «История Нового года» Логическая формула: (Ф&не. Ц + не. Ф&Ц)&(Р&не. К + не. Р&К)& &(не. В&не. Ф +Ф&В)= упростим логическую формулу воспользуемся распределительным законом

Задача «История Нового года» Логическая формула: (Ф&не. Ц + не. Ф&Ц)&(Р&не. К + не. Р&К)& &(не. В&не. Ф +Ф&В)= =((Ф&не. Ц+не. Ф&Ц)&Р&не. К+(Ф&не. Ц+не. Ф&Ц)& &не. Р&К)&(не. В&не. Ф+Ф&В)= =(Ф&не. Ц&Р&не. К+не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& &не. Р&К+не. Ф&Ц&не. Р&К)&(не. В&не. Ф+Ф&В)= Т. к. Ф&Р=0, Ц&К=0, то получаем следующую формулу

Задача «История Нового года» Логическая формула: =(не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)& &(не. В&не. Ф+Ф&В)= = (не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)&не. В&не. Ф+ (не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)&Ф&В= Т. к. Ф&не. Ф=0, не. Ф&не. Ф=не. Ф, Ф&Ф=Ф то получаем =не. Ф&Ц&Р&не. К&не. В+Ф&не. Ц&не. Р&К&В=

Задача «История Нового года» Логическая формула: =(не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)& &(не. В&не. Ф+Ф&В)= = (не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)&не. В&не. Ф+ (не. Ф&Ц& Р&не. К+Ф&не. Ц& не. Р&К)&Ф&В= Т. к. Ф&не. Ф=0, не. Ф&не. Ф=не. Ф, Ф&Ф=Ф то получаем =не. Ф&Ц&Р&не. К&не. В+Ф&не. Ц&не. Р&К&В, т. к. К&В=0, то получаем следующую формулу:

Задача «История Нового года» Логическая формула: =Ц&Р&не. К&не. В&не. Ф формула принимает значение истинно только при Ц=1, Р=1, К=0, В=0, Ф=0 Ответ: Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 45 году до Рождества Христова (благодаря введению нового календаря Юлием Цезарем )

« 8 Марта – день борьбы за права женщин» Три друга, интересующиеся историей, обсуждали историю возникновения праздника 8 Марта как дня борьбы за права женщин, и каждый сказал следующее: • 8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1857 году в России • 8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1900 году в США • 8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1920 году и не в России Оказавшийся рядом учитель истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений. Где и в каком году 8 Марта стали считать днём борьбы за права женщин?

« 8 Марта – день борьбы за права женщин» А - возник в России В – возник в 1857 г. С – возник в США ¬В – возник в 1900 г. D - возник в 1920 г. (Av. B)&(¬Вv. C)&(Dv¬A)=1 ((A&¬B)v(A&C)v(B&¬B)v (B&C))&(Dv¬A)=1 (A&¬B&D)v(A&¬B&¬A)v(A&C&D)v(A&C&¬A)v(B&C&D)v(B&C&¬A)=1 (A&¬B&D)v 0 v(A&C&D)v 0 v(B&C&D)v(B&C&¬A)=1 A&¬B&D=0 A&C&D=0 B&C&¬A=1 Ответ: возник в 1857 году в США Справка: Возник этот праздник как день борьбы за права женщин 8 марта 1857 года в Нью-Йорке, где работницы швейных и обувных фабрик вышли на демонстрацию с требованиями об улучшении своих условий работы и предоставлении им прав наравне с мужчинами.

Решение задач табличным способом Схема решения: Результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц

Задача «Новогодние костюмы» На новогодний праздник три друга – Евгений, Николай, Алексей, выбрали себе костюмы трех богатырей: Ильи Муромца, Алеши Попович, Добрыни Никитича. Известно, что: • Евгений – самый высокий • Выбравший костюм Добрыни Никитича меньше ростом, чем выбравший костюм Ильи Муромца • Алексею не подошел костюм Добрыни Никитича • Ни у одного из друзей имена не совпадает с именем богатырей, выбранных костюмов Какой костюм выбрал каждый из друзей?

Задача «Новогодние костюмы» Евгений Илья Муромец Алеша Попович Добрыня Никитич Николай Алексей

«Кто кому подарил подарок? » На весенний праздник три друга – Сергей, Николай, Алексей подарили подарки следующим девушкам: Татьяне, Марине, Алёне. Известно, что: • Подаривший подарок Татьяне меньше ростом, чем подаривший подарок Марине. • Сергей – самый высокий. • Алексей не дарил подарка Татьяне. • Ни у одного из друзей первая буква имени не совпадает с первой буквой имени девушки, которой они сделали подарки. Кто кому подарил подарок?

«Кто кому подарил подарок? » На весенний праздник три друга – Сергей, Николай, Алексей подарили подарки следующим девушкам: Татьяне, Марине, Алёне. Известно, что: Подаривший подарок Татьяне меньше ростом, чем подаривший подарок Марине. Ответ: Сергей – Алёне, Николай – Сергей – самый высокий. Татьяне, Алексей – Марине. Алексей не дарил подарка Татьяне. Справка: Уже в Древнем Риме Ни у одного из друзей первая буква существовал женский день. В этот имени не совпадает с первой буквой день матроны (свободно рожденные женщины), состоящие в браке, имени девушки, которой они получали от своих мужей подарки, сделали подарки. были окружены любовью и вниманием. Кто кому подарил подарок? Рабыни тоже получали подарки. Кроме того, хозяйка дома позволяла невольницам в этот день отдыхать.

Решение логических задач с помощью рассуждений Этим способом обычно решают несложные логические задачи

Задача «Новогодний подарок» Известно, что на одной двери надпись истинна, а на другой ложна. Если надпись на первой двери - "за этой дверью есть подарок", а на второй двери - «подарок за обоими дверьми", то: 1) подарок за обоими дверьми; 2) подарок только за второй дверью; 3) подарка нет ни за одной дверью; 4) подарок только за первой дверью; 5) определенно место подарка установить нельзя. Выберите вариант ответа

Задача «Новогодний подарок» Ответ: Подарок только за первой дверью

«Где, когда и кто? » Три пожилых матроны, сидя вечером на лавочке, завели разговор о празднике 8 марта. Вот, что они сказали: • В 1910 году на Международной конференции женщин в Копенгагене Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие. • В 1910 году на Международной конференции женщин в Москве или Копенгагене не Александра Коллонтай выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие. • В 1911 году на Международной конференции женщин в Москве и не Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие. Оказалось, что две из трёх женщин были совершенно правы, а предположение третьей полностью неверное. Где, когда и кто выступил на международной конференции женщин?

«Где, когда и кто? » Предположим, что высказывание первой дамы верное, т. е. в 1910 году на Международной конференции женщин в Копенгагене Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта. Тогда, из рассуждений второй дамы, мы можем сделать вывод, что она тоже полностью права. А третья высказала полностью ложное предположение. В варианте с истинностью третьего высказывания мы получаем два ложных, а такого быть не может по условию задачи. Значит наше предположение верно. Ответ: в 1910 году в Копенгагене Клара Цеткин.

«Где лежат подарки? » В канун праздника 8 Марта девушки 10 класса зашли в свой кабинет. Там, на столе, стояли две коробки. На коробках наклеены надписи: на первой – «Подарки в обеих коробках» , а на второй – «В этой коробке есть подарки» . Где лежат подарки, если одна надпись истинна, а другая ложна.

«Где лежат подарки? » Во второй коробке, т. к. если предположить обратное, то мы получает два истинных высказывания, а у нас по условию одно высказывание ложно, а другое - истинно.

Дополнительные задачи 1. Митя, Сережа, Толя, Костя и Юра решили первыми поздравить своих девочек, а поэтому пораньше прийти в школу. Но оказалось, что Митя пришел позже Сережи, Толя раньше Кости, Митя раньше Толи, Юра позже Кости. В какой последовательности ребята пришли в школу?

Дополнительные задачи 1 2 3 4 5 Митя Серёж а 0 1 1 0 0 0 0 Толя Костя Юра 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Ответ: Первый – Серёжа, второй – Митя, третий – Толя, четвёртый – Костя, пятый – Юра.

Дополнительные задачи 2. Татьяна, Светлана, Людмила и Ирина участвовали в конкурсе «А, ну-ка, девушки!» и заняли четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они ответили так: а) Татьяна — первая, Светлана - вторая; б) Татьяна — вторая, Ирина - третья; в) Людмила — вторая, Ирина - четвертая. Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?

Дополнительные задачи А -Татьяна первая В - Светлана вторая С - Ирина третья ¬А - Татьяна вторая ¬С - Ирина четвертая D - Людмила вторая (Av. B)&(¬Аv. C)&(Dv¬С)=1 ((A&¬А)v(A&C)v(B&¬А)v(B&C))&(Dv¬С)=1 (A&C&D)v(A&C&¬С)v(В&¬А&D)v(В&¬А&¬С)v(B&C&D)v(B&C&¬С)=1 (A&C&D)v 0 v(B&¬A&D)v(B&¬А&¬С)v(B&C&D)v 0=1 A&C&D=1 B&¬A&D=0 B&C&¬A=0 B&C&D=0 Ответ: Татьяна – первая, Людмила – вторая, Ирина – третья, Светлана – четвертая.