Основы Логики 1
План урока: l Возникновение и развитие логики l Основные понятия логики l Алгебра высказываний l Логические операции l Законы логики l Упрощение сложных высказываний l Итоговый тест 2
Возникновение и развитие логики Логика (от греческого logos — слово, рассуждение, разум) – наука правильно рассуждать, наука о формах и способах мышления. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки. Логика – одна из древнейших наук. Свои корни она берет из стран Древнего Востока. Ее основателем считается величайший древнегреческий философ Аристотель, который заложил основы формальной логики, впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания. Основной принцип формальной логики заключается в том, что правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений. 3
Возникновение и развитие логики Аристотель (384 -322 г. до н. э. ) считающийся внуком легендарного Эскулапа, врачевателя милостью богов, родился в маленьком фракийском юроде Стагира. Его отец был врачевателем при дворе македонского царя Аминты. Он вылечил царского сына Филиппа, будущего отца Александра Македонского. Аристотель снимался воспитанием наследника престола — тринадцатилетнего Александра. В лице Аристотеля древнегреческая философия достигла своей вершины. Знаете ли вы, что. . . В Древней Греции, Древней Индии и Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучали в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории их точку зрения, склонять людей на свою сторону. 4
Возникновение и развитие логики Ко времени зарождения логики математика уже прошла значительный путь развития. В течении многих веков логика помогала математике стать строгой, последовательной наукой. После падения античной цивилизации дальнейшее развитие логика получила лишь в эпохе Возрождения. Первое, что было восстановлено из античной науки – это логика Аристотеля. Французский философ и математик Рене Декарт рекомендовал науке о мышлении – логике – руководствоваться общепринятыми в математике принципами. Основоположником математической логики считают немецкого математика и философа Готфрида Лейбница, который выдвинул идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Лейбниц пытался разработать алгебру человеческого мышления, позволяющую получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений. 5
Возникновение и развитие логики Рене Декарт (1596 – 1650) французский философ, математик, физик. Положил начало аналитической геометрии. Именно он изобрел систему координат, которую теперь знают даже дети. В астрономии известен как автор теории вихрей, в дальнейшим не получивший подтверждения, но долгое время соперничавшей с теорией всемирного тяготения Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) родился в Лейпциге в семье профессора философии и морали Лейпцигского университета. Он стремился создать символическую логику для формализации естественного цикла и научного мышления с целью безошибочного получения различных теорем науки. Однако алгебра логики им так и не была создана. Последние годы его жизни были несчастливы. Умер одиноким и всеми покинутым. 6
Возникновение и развитие логики Подлинный прогресс науки, называемая математической логикой, был достигнут благодаря труду английского математика Джорджа Буля «Математический анализ логики» (1847 г. ). Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме. В трудах Дж. Буля и Огастеса де Моргана математическая логика представлена, как своеобразная алгебра – алгебра логики (алгебра высказываний). Почти 100 лет эта алгебра высказываний не была известна широкому кругу пользователей. Лишь в 1938 г. Выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебра логики справедлива не только для логики, но и имеет гораздо более широкое применение. Например, к состоянию контактов (включено-выключено), к току или напряжению (есть-нет), которыми представляется информация в компьютере. В результате алгебра логики явилась математической основой электрических и электронных переключателей, используемых в ЭВМ, потому ее предпочитают называть не алгеброй логики, а Булевой алгеброй - по имени ее создателя. 7
Возникновение и развитие логики Джордж Буль (1815 — 1864) родился в Линкольне (Англия). Сын сапожного мастера. Окончил только начальную школу и дальнейшие знания приобретал самоучкой. С 1849 г. Буль — профессор математики в Куйнс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Буля почти в равной степени интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона. Он считается несомненным создателем современной символической (математической) логики. Дж. Буль был отцом писательницы Этель Лилиан Буль, в замужестве Войнич, - автора популярного в нашей стране романа "Овод". Огастес де Морган (1806 — 1871) родился в Индии в семье полковника английских войск. Получил высшее образование в Кембриджском университете. Был профессором математики Лондонскою университета. Математику и логику де Морган называл очами точного знания и выражал сожаление, что математики не более заботятся о логике, чем логики о математике. Сам он стремился сблизить обе науки, и его главной заслугой явилось построение логики по образу и подобию математических наук. Информатика - 10 8
Возникновение и развитие логики Клод Элвуд Шеннон (Shannon) (1916 — 2001) американский инженер и математик. Человек, которого называют отцом современных теорий информации и связи. Клод Шеннон родился в 1916 году и вырос в городе Гэйлорде штата Мичиган. Еще в детские годы Клод познакомился как с детальностью технических конструкций, так и с общностью математических принципов. Он постоянно возился с детекторными приемниками и радиоконструкторами, которые приносил ему отец, помощник судьи, и решал математические задачки и головоломки, которыми снабжала его старшая сестра Кэтрин, ставшая впоследствии профессором математики. Клод полюбил эти два мира, столь несхожие между собой, — технику и математику. Будучи студентом Мичиганского университета, который он окончил в 1936 году, Клод специализировался одновременно и в математике, и в электротехнике. Эта двусторонность интересов и образования определила первый крупный успех, которого Клод Шеннон достиг в свои аспирантские годы в Массачусетском технологическом институте. В своей диссертации, защищенной в 1940 году, он доказал, что работу переключателей и реле в электрических схемах можно представить посредством алгебры, изобретенной в середине XIX века английским математиком Джорджем Булем. "Просто случилось так, что никто другой не был знаком с этими обеими областями одновременно!" — так скромно Шеннон объяснил причину своего открытия Информатика - 10 9
Знаете ли Вы что … В Древней Греции, Древней Индии и Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучали в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории их точку зрения, склонять людей на свою сторону. Информатика - 10 10
Тест № 1 Выбери имена ученых, внесших вклад в развитие логики 1. Аристотель 2. Г. Лейбниц 3. Дж. Буль 4. К. Шеннон 1. Основоположник алгебры логики А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4 2. Заложил основы формальной логики А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4 3. Предложил использовать алгебру логики в технике А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4 4. Выдвинул идею применения в логике математических символов А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4 Информатика - 10 11
Основные понятия логики Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. В логике выделяют три основные формы, в которых существует мышление: понятие, высказывание, умозаключение. Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Пример: Клавиатура — устройство ввода символьной информации в компьютер. 12
Основные понятия логики Высказывание (суждение) — это форма мышления, в которой чтолибо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ложным, либо истинным. Пример: Все дети любят лечить зубы (ложь). Все взрослые были детьми (истина). Информатика - 10 13
Основные понятия логики Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений, может быть получено новое суждение (заключение). Пример: Высказывание 1: «День стал длиннее» Высказывание 2: «Прилетели птицы с юга» Умозаключение: «Пришла весна» . Информатика - 10 14
Тест № 2 К какой форме мышления можно отнести следующие предложения 1. высказывание 2. понятие 3. умозаключение - «Графический редактор — программа для создания, редактирования, просмотра и печати рисунка» . - Рисунок, созданный на компьютере можно распечатать на принтере - Рисунок, создаваемый с помощью графического редактора отображается на экране монитора. - Монитор и принтер - это устройства, которые могут выводить графическую информацию. А. 2 1 1 1 Б. 1 1 1 3 В. 3 1 1 2 Г. 2 1 1 3 15
Алгебра высказываний Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности, с помощью алгебраических методов не вникая в их суть. Объектами изучения алгебры логики являются высказывания. Под высказыванием понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Обозначаются высказывания прописными буквами: Х = Летом у школьников каникулы; Х=1 (высказывание истинно) Y = Яблоки растут на березе; Y=0 (высказывание ложно) 16
Алгебра высказываний А = «В школе дети получают знания» ; А = 1 (истинное высказывание). В = «Все школьники спортсмены» ; В = 0 (ложное высказывание). С = «Какой вид спорта ты любишь? » не высказывание т. к. не является повествовательным предложением. D = «Некоторые школьники хорошо поют» . D = 1 (истинное высказывание). E = «Ура, пришла весна! » – не высказывание т. к. не является повествовательным предложением. F = 2*Х – 5 > 0 – Предикат - это высказывание, которое изменяет свое значение в зависимости от значения переменной Например: при Х > 2. 5 – истинно, при Х ≤ 2. 5 – ложно. Простые высказывания можно объединить в сложное высказывание. Для этого пользуются логическими операциями. 17
Тест № 3 Определите, какие из ниже приведенных предложений являются высказываниями с точки зрения алгебры логики. Определите значение высказывания (истинно или ложь). 1. истинно 2. ложь 3. не высказывание А. Число 12345 кратно 3. 1 2 3 Б. Познай самого себя. 1 2 3 В. Талант всегда пробьет себе дорогу. 1 2 3 Г. Без труда не выловишь и рыбку из пруда. 1 2 3 Д. Информация, в частности, изучает способы кодирования информации. 1 2 3 Информатика - 10 18
Логические операции Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому, как в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень). Рассмотрим некоторые, наиболее важные из них. Для составления сложных высказываний, как правило, используют простые суждения, соединяя их знаками логических операций: «И» , «ИЛИ» , «НЕ» , «ЕСЛИ …, ТО…» , «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» Информатика - 10 19
Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «HE» к сказуемому, или использования оборота речи «неверно, что…» Свойство: Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. Пример: А = "Цветы расцвели". A = "Цветы не расцвели". Информатика - 10 20
Логическое сложение (дизъюнкция) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» Свойство: Логическое сложение двух высказываний ложно, тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинно, когда хотя бы одно высказывание истинно. Пример: А = «В лагере дети играют в футбол» В = «В лагере дети купаются на море» А + B = «В лагере дети играют в футбол или купаются на море» Информатика - 10 21
Логическое умножение (конъюнкция) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» Свойство: Логическое сложение двух высказываний истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно высказывание ложно. Пример: А = "Во дворе гуляют старики. " В = "Во дворе гуляют дети. " А * В = "Во дворе гуляют старики и дети. " Информатика - 10 22
Логическое следование (импликация) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ …, ТО…» . Свойство: Логическое следование двух высказываний ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Пример: А = "Идет дождь. " В = "Асфальт мокрый. " А В = "Если идет дождь, то асфальт мокрый. " Информатика - 10 23
Логическое равенство (эквивалентность) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» . Свойство: Логическое равенство истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Пример: А = "Число кратно трем. " В = "Сумма цифр числа кратна трем. " А В = "Число кратно трем тогда и только тогда, когда сумма слагаемых цифр кратна трем. " Информатика - 10 24
Законы логики При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. Они записываются с помощью формул. Информатика - 10 25
Законы логики Информатика - 10 26
Законы логики 1 – 9 законы не нуждаются в доказательстве, они очевидны, а доказательством 10 -го и 11 -го законов могут стать таблицы истинности: Информатика - 10 27
Тест № 4 Какие законы логики подтвердят следующие составные высказывания. 1. закон непротиворечия 2. закон исключение третьего. 3. закон двойного отрицания. А. Составное высказывание «Я был летом в лагере ИЛИ не был летом в лагере» всегда истинно. 1 2 3 Б. Составное высказывание «Петя окончил школу и учится в 10 классе» всегда ложно. 1 2 3 В. Высказывания «Я не могла не взять с собой фотоаппарата» = «Я взяла с собой фотоаппарат» . 1 2 3 Информатика - 10 28
Упрощение сложных высказываний Упростить следующие выражения: Информатика - 10 29
Упрощение сложных высказываний Пример 4. (содержательная задача) Принцесса и молодой человек полюбили друга. Он пытался выкрасть принцессу, но его поймали и привели к королю. Узнав в чем дело, король согласился отдать принцессу в жены молодому человеку, если он отгадает, в какой из двух комнат находится принцесса. На дверях 1 -й комнаты висела табличка с надписью: «По крайней мере, в одной из этих комнат находится принцесса» На дверях 2 -й комнаты висела табличка с надписью: «Тигр — в другой комнате» . Утверждения на табличках могут быть оба истинны или оба ложны. В какой комнате сидит принцесса? Информатика - 10 30
Упрощение сложных высказываний Информатика - 10 31
Тест № 5 Упростить выражения, выберите правильные ответы: А. 1 2 3 4 5 Б. 1 2 3 4 5 В. 1 2 3 4 5 Г. 1 2 3 4 5 Информатика - 10 32
Итоговое тестирование А. Что такое логика? 1. Способы нахождения правильного решения. 2. Наука о способах и формах мышления. 3. Наука о создании основных схем компьютера. 4. Форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Б. Что является высказыванием? 1. Ура, мы победили! 2. Ты выполнил домашнее задание? 3. Книга лежит на столе. 4. Обязательно прочти эту книгу. В. Г. Информатика - 10 33
Итоги урока Логика – наука правильно рассуждать, наука о формах и способах мышления. В логике выделяют три основные формы, в которых существует мышление: понятие, высказывание, умозаключение. Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Высказывание (суждение) — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо ложным, либо истинным. Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений, может быть получено новое суждение (заключение). Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности, с помощью алгебраических методов не вникая в их суть. Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся Информатика - 10 34
Домашнее задание 1. Бабушка пекла пирожки с яблочным повидлом и корицей. Пришел внук и перемешал начинку (повидло и корицу). Пришлось печь пирожки со смешанной начинкой. Всего получилось 40 пирожков. С повидлом 20, с корицей 25. Сколько пирожков было с корицей, сколько с повидлом и сколько смешанных с повидлом и корицей. К какой логической функции отнести эту задачу, как изобразить это графически? 2. Заполните таблицу истинности для составного высказывания С = (НЕ А И В) ИЛИ (НЕ В И А). Определите , при каких значениях А и В составное высказывание С будет истинно (С=1) Информатика - 10 35
Вопросы для экзамена 1. Логическое умножение. 2. Таблица истинности. 3. Логические выражения и их преобразования. 4. Таблицы истинности. Информатика - 10 36