Основы линейной алгебры Матрицы Матрицей размерности

Скачать презентацию Основы линейной алгебры  Матрицы  Матрицей размерности Скачать презентацию Основы линейной алгебры Матрицы Матрицей размерности

dlya_zaochnikov_lineynaya_algebra.ppt

  • Размер: 724.5 Кб
  • Автор: Елизавета Еремина
  • Количество слайдов: 46

Описание презентации Основы линейной алгебры Матрицы Матрицей размерности по слайдам

Основы линейной алгебры Основы линейной алгебры

Матрицы Матрицы

Матрицей размерности m  x  n  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mМатрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. mnmm n n aaa aaa A 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa А 21 22221 11211 ijа. A mii 1 njj 1 где указывает номер строки , а номер столбца. Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде : Сокращенно матрица А записывается в виде: илиили

Матрица,  все элементы которой равны нулю,  называется нулевой и обозначается через О.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. 0. . . 00 О

iaii, 1   1000 0100 0010 0001 E  Единичная  матрица Еiaii, 1 1000 0100 0010 0001 E Единичная матрица Е – это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны единице, т. е.

Пример  651 032 А   151 410 B   702 442Пример 651 032 А 151 410 B 702 442 BАС

Пример  651 032 А   3153 1230 3 А 2101 С 42022Пример 651 032 А 3153 1230 3 А 2101 С 42022 С

Пример  651 032 А  151 410 BВычислить 4 А  - 3Пример 651 032 А 151 410 BВычислить 4 А — 3 B , если Решение: 4 А — 3 B = 4 А + (-3) B 151 410 )3(

4. Умножение матриц Опр.  17.  Произведение  матрицы А на матрицу В,4. Умножение матриц Опр. 17. Произведение матрицы А на матрицу В, определено тогда и только тогда , когда число столбцов первой матрицы А совпадает с числом строк второй матрицы В , и в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В для умножения. ), ( ijknijnm b. Ba. A Если тогдаkmknnm. CBА kjmi bababac njinjijiij , . . . , 1; , . . . , 1 , . . . 2211 Итак, элемент i -той строки и j -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.

Найти произведение матриц А B  и BA   43 21 А Найти произведение матриц А B и BA 43 21 А 100 312 B Решение: Произведение матриц А B существует, т. к. матрица А имеет размерность 2 х2, а матрица B – 2 х3, и число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B. Произведение матриц BA не существует. 1336 512 100 312 43 21 АBС с 11 = 1· 2+2 · 0 = 2 с 12 = 1· 1+2 · 0 = 1 с 13 = 1· 3+2 · 1 = 5 с 21 = 3· 2+4 · 0 = 6 с 22 = 3· 1+4 · 0 = 3 с 23 = 3· 3+4 · 1 = 13 Пример

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

При вычислении определителя 3 -го порядка удобно пользоваться правилом треугольников или правилом Сарруса. 333231При вычислении определителя 3 -го порядка удобно пользоваться правилом треугольников или правилом Сарруса. 333231 232221 131211 aaa aaa «+» « »

Пример Вычислить определители матриц: 33 det. A 114)2(31 34 21 det B 160011)1(0242 2)1(0201041Пример Вычислить определители матриц: 33 det. A 114)2(31 34 21 det B 160011)1(0242 2)1(0201041 002 141 201 det

Опр. 2.  Минором  элемента a ij матрицы  n -го  порядкаОпр. 2. Минором элемента a ij матрицы n -го порядка A называется определитель матрицы ( n -1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a ij. Минор элемента a ij обозначается М ij 31233321 3331 2321 12 aaaa aa aa M 333231 232221 131211 aaa aaa aaa А 32233322 3332 2322 11 aaaa aa aa M лат. minor — меньший

Пример.  Найти миноры M 11 , M 32 ,  M 43 Пример. Найти миноры M 11 , M 32 , M 43 2102 1001 4132 0102 A 210 100 413 11 M 2102 1001 4132 0102 A 212 412 012 32 M 101 432 002 43 M

Опр. 4.  Алгебраическим дополнением элемента  а ij  матрицы  n -гоОпр. 4. Алгебраическим дополнением элемента а ij матрицы n -го порядка А называется число, равное (-1) i+j M ij и обозначаемое символом А ij : А ij = (-1) i+j M ij где i =1, 2, … n ; j =1, 2, …, n. Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столбца – нечетное число. 1111 11 111 MMA 1212 21 121 MMA 2222 MA 2121 M

Определитель n- го порядка матрицы Аn  равен сумме произведений элементов любой строки (илиОпределитель n- го порядка матрицы Аn равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения. для строки : = a i 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +…+ aij Aij +…+ ain Ain , ( i = 1; 2; …; n ); для столбца : =a 1 j A 1 j +a 2 j A 2 j +. . + aij Aij +…+ anj Anj , (j = 1; 2; …; n ). nnnjnnn inijiii nj njaaaaa A. . . . . det

16 02 01 )1()1( 02 21 )1(4 00 20 )1(1 )1(41 002 141 20116 02 01 )1()1( 02 21 )1(4 00 20 )1(1 )1(41 002 141 201 det 322212 232221 AAAA Пример 002 141 201 A По 2 -ой строке:

16 41 01 )1(0 02 01 )1()1( 02 41 )1(2 002 141 201 det16 41 01 )1(0 02 01 )1()1( 02 41 )1(2 002 141 201 det 3332313 AAAAПример 002 141 201 A По 3 -му столбцу:

Определитель n -го порядка треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Определитель n -гоОпределитель n -го порядка треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Определитель n -го порядка единичной матрицы E равен 1. nn nnnnnn nnaaa aa aaa

Ранг матрицы Ранг матрицы

Элементарными преобразования матрицы называются : 1. Транспонирование (замена строк столбцами) 2. Перестановка строк иЭлементарными преобразования матрицы называются : 1. Транспонирование (замена строк столбцами) 2. Перестановка строк и столбцов. 3. Умножение некоторой строки (столбца) на число, отличное от нуля. 4. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Теорема о ранге матрицы Теорема о ранге матрицы

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Опр.  1.  Матрица А-1  называется обратной  для квадратной матрицы А,Опр. 1. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если АА -1 = А-1 А = Е Матрицы А и А -1 взаимно-обратны ( А-1 ) А = А

Всякая невырожденная матрица Аn имеет обратную матрицу А -1 , причем где А ijВсякая невырожденная матрица Аn имеет обратную матрицу А -1 , причем где А ij – алгебраические дополнения элементов a ij ( i=1, …, n; j=1, …, n) матрицы А. nnnn n n AAA ААА А А. . . . .

Пример Найти матрицу, обратную к данной:  43 21 А Решение: Т. к. Пример Найти матрицу, обратную к данной: 43 21 А Решение: Т. к. | А | =-2≠ 0, то матрица А – невырожденная и имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения A ij : 44)1( 11 11 А 33)1( 21 12 А 11)1( 22 22 А 22)1( 12 21 А Вычислим обратную матрицу (Т. 2): 5, 05, 1 12 13 24 211 А Для проверки правильности вычисления обратной матрицы необходимо убедиться в выполнении равенства: АА -1 =Е.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Опр. Системой m  линейных уравнений с n  неизвестными  (СЛУ) называется системаОпр. Системой m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) называется система уравнений где x 1 , x 2 , … x n – неизвестные, подлежащие определению; числа a ij , i =1, 2, … m ; j =1, 2, . . n называются коэффициентами системы, а числа b i — ее свободными членами. Число уравнений системы не обязательно совпадает с числом неизвестных, возможны следующие случаи : m>n , m=n , m<n. . . . , . . . 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa

Опр.  Матрица А  составленная из коэффициентов СЛУ называется основной  матрицей системы.Опр. Матрица А составленная из коэффициентов СЛУ называется основной матрицей системы. mnmm n n nm aaa aaa А. . . . .

Опр.  Матрицы X  и B называются матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов. .Опр. Матрицы X и B называются матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов. . , 21 21 nn bbb B xxx X

Матричная форма записи СЛУ: BАX Матричная форма записи СЛУ: BАX

33 Пример.  Записать в матричной форме  4 xx 3 x , 033 Пример. Записать в матричной форме 4 xx 3 x , 0 x 2 x , 3 xx , 0 xx 3 x

Решение Обозначим Следовательно, имеем AX = B.     4 0 3Решение Обозначим Следовательно, имеем AX = B. 4 0 3 0 , , 131 021 101 132 321 B x x x X

Рассмотрим частный случай неоднородной системы,  когда m=n , т. е. систему вида Рассмотрим частный случай неоднородной системы, когда m=n , т. е. систему вида nnnnnn nn nn bxaxaxa. . . , . . . 2211 22222121 11212111 Определитель | А | основной матрицы системы . 0. . . . . 21 22221 11211 nnnn nn aaa aaa A В этом случае система линейных уравнений называется невырожденной.

Пример.  Решить систему. 2 0 1  ,  , 341 213 121Пример. Решить систему. 2 0 1 , , 341 213 121 где , или. 234 ; 023 ; 12 3 2 1 321 321 B x x x XA BAX xxx xxx

Решение. т. е. исходная система трех неоднородных линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственноеРешение. т. е. исходная система трех неоднородных линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение. . 030228 42 17 )1(1 420 170 121 341 213 121. Найдем 11 A А Найдем единственное решение системы матричным методом Х=А — 1 В. Найдем теперь обратную матрицу А -1 , для этого найдем алгебраические дополнения:

     7 13 21 )1( 1 23 11 )1( 7 13 21 )1( 1 23 11 )1( 5 21 12 )1( 2 41 21 )1( 4 31 11 )1( 10 34 12 )1( 13 41 13 )1( 11 31 23 1 5 34 21 )1(

       30 7 15 1 30 13 30 30 7 15 1 30 13 30 1 15 2 30 11 6 1 3 1 6 1 7213 1411 5105 30 11 AСледовательно, обратная матрица равна

    30 13 6 1 2 0 1 30 7 15 30 13 6 1 2 0 1 30 7 15 1 30 13 30 1 15 2 30 11 6 1 3 1 6 1 XНайдем теперь решение системы

Проверка ). 30 1 ; 3013 ; 61 ( : Ответ верно.  найденоПроверка ). 30 1 ; 3013 ; 61 ( : Ответ верно. найдено системы решение 2. 2 , 2 30 1 3 3013 4 61 0. 0 , 0 30 1 2 3013 61 3. 11 ,

Правило Крамера). , . . . , 2, 1(  кратко или ; .Правило Крамера). , . . . , 2, 1( кратко или ; . . . ; ; 2 2 1 1 nj A A x j j n n Согласно правилу Крамера, если | A | ≠ 0, то единственное решение СЛУ вычисляется по следующим формулам: Определители | A | j получаются из определителя | A | заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Найдем теперь решение системы по правилу Крамера. 30 1  , 30 13 Найдем теперь решение системы по правилу Крамера. 30 1 , 30 13 , 6 1 30 5 Итак, 1 01 13 )1(1 001 013 121 241 013 121 ; 13 51 23 )1(1 501 203 111 321 203 111 ; 5 500 210 121 342 210 121 где , , , 321 31 3 21 2 1 3 3 2 2 1 1 xxx A A A x

МЕТОД ГАУССА МЕТОД ГАУССА

Элементарными называются следующие преобразования системы: 1. Перестановка местами двух уравнений системы. 2. Умножение некоторогоЭлементарными называются следующие преобразования системы: 1. Перестановка местами двух уравнений системы. 2. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля. 3. Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, предварительно умноженного на некоторое число. 4. Изменение порядка следования неизвестных.

Пример.  Решить систему=++ =+. 2 x 3 x 4 x ; 0 xПример. Решить систему=++ =+. 2 x 3 x 4 x ; 0 x 2 xx 3 ; 1 x-x 2 x