Основы кристаллографии Основателем современных представлений о кристаллах

Основы кристаллографии

Основателем современных представлений о кристаллах считается французский ученый Рене Жюст Гаюи (1743— 1822). Центральное место в работе Гаюи занимало изучение кристаллов. Долгое время он стремился вскрыть логическую связь между геометрией внешней формы кристаллов и их внутренним строением.

Рисунок Гаюи, и поясняющий модель построения кристалла из «элементарных кирпичиков» .

ОСОБЕННОСТИ СТРОЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Кристаллы Кристаллические материалы могут существовать как в форме крупных монокристаллов или достаточно тонких монокристаллических слоев, нанесенных на подложку, так и в виде поликристаллических веществ, представляющих собой совокупность большого числа сросшихся друг с другом сравнительно мелких кристаллических зерен (кристаллитов). Под монокристаллом понимают однородное твердое тело периодического строения без явных макродефектов структуры, вызывающих нарушение дальнего порядка в расположении атомов, ионов или молекул. В случае поликристалла в пределах каждого зерна также сохраняется упорядоченность структуры, однако регулярное расположение частиц нарушается на границах раздела, при переходе от одного зерна к другому. Граница между зернами представляет собой переходной слой толщиной 1÷ 5 нм.

Элементы зонной теории твердого тела Положение энергетических зон у диэлектриков, полупроводников и металлических проводников 1 – валентная зона; 2 – зона проводимости; 3 – запрещенная зона;

Симметрия кристаллов Термин «симметрия» (от греч. — соразмерность, синонимы: однородность, пропорциональность, гармония), как предполагают, ввел в обиход Пифагор (VI в. до н. э. ), обозначив им пространственную закономерность в расположении одинаковых фигур или их частей.

Симметрия кристаллов • Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность - свойство совмещаться с самой собой при параллельных переносах, или трансляциях, на определенные расстояния и в определенных направлениях. • Симметричной фигурой называется фигура, которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразований. • Русский кристаллограф Федоров Е. С. определил симметрию, «как свойство геометрических фигур в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением» . • Отражения и вращения, приводящие геометрическую фигуру в совмещение с самой собой, называются преобразованиями симметрии, или симметричными преобразованиями. Симметричное расположение атомов монокристалле платины, в

Симметрия кристаллов Кристаллические решетки большинства веществ имеют как правило несколько элементов симметрии. С элементом симметрии связана операция симметрии, при выполнении которой пространственная решетка переходит сама в себя. Элементом симметрии часто бывает поворотная ось на углы, называемая соответственно осью вращения (или поворотной осью). • Порядок оси симметрии n = 2π/α показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. В кристаллах возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6 -го порядков. Другими элементами симметрии являются плоскость симметрии ( или зеркальная плоскость) и центр симметрии (часто его называют центром инверсии).

• Центр симметрии или центр инверсии (I), - это особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые, соответственные точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях. • В связи с этим симметрическое преобразование в центре симметрии - это зеркальное отражение в точке, когда каждая точка фигуры отражается в центре так, что фигура как бы поворачивается при этом с лица наизнанку.

• Осью симметрии n называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол а фигура совмещается сама с собой. А Ж Задание. Пренебрегая несущественными деталями разбейте прописные буквы русского (латинского) алфавита по группам симметрии Я

С точки зрения кристаллографии важнейшее различие между разными типами кристаллических решеток— их разная симметрия. 3 оси симметрии 4 -го порядка, перпендикулярные граням куба и проходящие через их центры 3 плоскости симметрии, перпендикулярные ребрам куба

Магнитная анизотропия ИЗОПЕРМА • Магнитный сплав изоперм имеет в составе 50% Fe и 50% Ni. • Входе обработки подвергают жесткой прокатке и рекристаллизации, получая квазимонокристаллическое состояние. • Материалы с такой структутрой применяют для изготовления слаботочных трансформаторов в которых нежелательны линейные искажения.

Решетки Бравэ Исходя из идеи о периодическом расположении центров сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О. Бравэ в 1848 году показал, что все многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся по формам элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ

Для выбора ячейки Бравэ используют три условия: • Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. • Элементарная ячейка должна содержать максимальное число прямых углов и равных ребер. • Элементарная ячейка должна иметь минимальный объем. • По характеру взаимного расположения узлов все кристаллические решетки по Бравэ разбиваются на четыре типа: • примитивные (Р); • базоцентрированные (С); • объемно центрированные (J); • гранецентрированные (F).

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) Пространственная решетка Трансляционная группа a≠b≠c; 1. Триклинная I – простая α ≠ β ≠ γ ≠ 90 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) 2. Моноклинная Пространственная решетка II – простая III – базоцентрированная Трансляционная группа a≠b≠c; α = γ = 90 о ; β ≠ 90 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) 3. Ромбическая (орторомбическая) Пространственная решетка IV – простая V – базоцентрированная VI – объемноцентрированная VII – гранецентрированная Трансляционная группа a≠b≠c; α = β = γ = 90 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) 4. Гексагональная Пространственна я решетка VIII – простая Трансляционная группа a=b≠c; α = β = 90 о ; γ = 120 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) Пространственная решетка Трансляционная группа 5. Тригональная (ромбоэдрическая) IX – ромбоэдрическая (примитивная) a=b=c; α = β = γ ≠ 90 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ во взаимосвязи с кристаллическими системами Кристаллическая система (сингония) 6. Тетрагональная Пространственная решетка X – простая XI– объемноцентрированная Трансляционная группа a=b≠c; α = β = γ = 90 о

Характеристика трансляционных групп пространственных решеток Бравэ Кристаллическая система (сингония) 7. Кубическая Пространственная решетка XII– простая XIII– объемно-центрированная XIV– гранецентрированная Трансляционная группа a=b=c; α = β = γ = 90 о Число атомов, содержащееся в элементарной кристаллической ячейке твердого тела называют кратностью кристаллической ячейки k

• Закономерность и симметрия структуры кристалла - следствие динамического равновесия многих сил или процессов. • Внешние воздействия, электрическое или магнитное поле, механическое усилие или добавление чужеродных атомов, могут нарушать это динамическое равновесие и соответственно менять свойства кристалла. Модель расположения частиц в веществе: а - кристалл; б - жидкость; в - газ.

Индексы Миллера • Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод кристаллографического индицирования, удобный для всех кристаллографических систем координат, независимо от того, прямоугольны они или косоугольны, одинаковые у них масштабные отрезки или разные. • Кристаллическая решетка характеризуется шестью параметрами элементарной ячейки: длинами ребер (трансляциями)и углами. • Набор элементарных углов α, β, γ и элементарных трансляций a, b, c, называется метрикой

• Знание элементов симметрии не всегда дает полное представление о кристаллах. • На схеме приведены кристалла резко отличающихся внешним видом, но относящихся к одному виду тетрагональной сингонии. • Необходимо выяснить взаимное расположение граней в пространстве. • Для этой цели применяются кристаллографические символы, определяющие положение любой грани кристалла относительно координатных осей и некоторой грани, принятой за исходную. • Понятие о кристаллографических символах вытекает из важнейшего закона кристаллографии – закона рациональности отношений параметров.

Индексы Миллера любую кристаллографическую плоскость и любую грань кристалла можно определить тремя целыми числами - индексами Миллера, которые обладают следующими свойствами: • это целые, не имеющие общего множителя числа; • они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемымплоскостью от начала координат; • все параллельные плоскости обозначаются одним набором индексов Миллера; • если плоскость параллельна какой-либо оси, соответствующий индекс равен нулю; • в кристаллах кубической системы плоскость и нормаль к ней обозначаются одинаковым набором индексов Миллера.

Индексы узлов • • Положение любого узла в решетке, относительно выбранного начала координат определяется заданием трех его координат - x, y, z. Эти координаты можно выразить следующим образом: x = ua, y = vb , z = wc, где a, b, c - параметры решетки; u, v, w - целые числа. • • Если за единицу измерения длин вдоль осей решетки принять параметры самой решетки a, b, c, то координатами узла будут просто числа u, v, w, которые называются индексами узла и записываются так: [[uvw]]. Для отрицательного индекса знак минуса ставится над индексом [[uvw]].

Индексы направления • Для описания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат. • Ее положение однозначно определяется индексами u, v, w первого узла, через который она проходит. Поэтому индексы узла [[uvw]] являются одновременно и индексами направления. • Совокупность направлений, которые могут симметрично совместиться друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных одному классу симметрии, записывается в треугольные скобки < uvw >.

Индексы Миллера Примеры индицирования кристаллографических плоскостей в кубической решетке с помощью индексов Миллера. Когда индицируемая плоскость параллельна какой-либо из координатных осей, индекс, соответствующий этой оси, обращается в ноль. Так в кубических кристаллах плоскость (110) параллельна оси Z , а плоскость (100) одновременно параллельна осям Y и Z. При отрицательных координатах узловых точек A , B или С отвечающие им индексы Миллера также становятся отрицательными, однако знак «минус» ставят не впереди индекса, а над ним. Например, грани куба (100) и (Ī 00) ориентированы параллельно другу, но расположены по разные стороны относительно плоскости YZ.

Индексы Миллера Примеры индицирования кристаллографических плоскостей и направлений в кубической решетке с помощью индексов Миллера. В кубических кристаллах направления и плоскости с одинаковыми индексами взаимно перпендикулярны другу. Положительное направление оси X индицируют как [100] , оно является нормалью к плоскости (100). Положительное направление оси Y обозначают символом [010] , отрицательное направление оси Z – [00Ī] , диагональ куба – [111] и т. д.

Индексы Миллера (Ī 00) {100} {111} Плоскости, различающиеся индексами Миллера, но эквивалентные в кристаллографическом и физическом смысле в соответствии с симметрией кристалла называют эквивалентными плоскостями. В кубических решетках эквивалентными являются грани (100). (010), (001), (Ī 00), (0Ī 0) и (00Ī). Семейство эквивалентных плоскостей обозначаются индексами Миллера, заключенным в фигурные скобки, например, {100} или {111}. Последнее семейство включает в себя восемь плоскостей, образующих при пересечении правильный октаэдр

Индексы Миллера (Кристаллографические индексы) В кристаллографии принято характеризовать плоскости (или направления к ним) не параметрами решетки (параметрами Вейса), а индексами Миллера. Индексы Миллера – три целых взаимно простых числа (hkl) обратно пропорциональных измеренным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым плоскостью по координатным осям ОА=1 а; ОВ=4 b; OC=2 c Индексы Миллера (hkl) для данной кристаллографической плоскости представляются в виде решения уравнения плоскости, пересекающей оси координат, в отрезках: (412) К определению индексов Миллера

Индексы Миллера Чтобы определить индексы Миллера какой либо кристаллографической плоскости необходимо: • взять обратные значения координат точек пересечения плоскости (А, В и С) с осями координат (X , Y , Z) отрезков 0 А , 0 В и 0 С, выраженные в единицах периодов трансляции К определению индексов Миллера • привести к общему знаменателю (в нашем случае это « 4» ); • дополнительные множители и будут индексами Миллера

Индексы Миллера К построению кристаллографической плоскости по значениям определению индексов Миллера Чтобы построить кристаллографическую какую либо плоскость по индексам Миллера (hkl) необходимо решить обратную задачу: • взять значения, обратные индексам Миллера • привести к общему знаменателю • . Дополнительные множители и будут координатами точек пересечения плоскости с осями координат X , Y , Z, выраженными в единицах периодов трансляции : OA=1 a ; OB=4 b ; OC=2 c

Использование индексов Миллера в рентгеноструктурном анализе • Зная индексы (hkl) плоскости, можно подсчитать межплоскостное расстояние d между плоскостями (hkl) данного семейства для кубических кристаллов с периодом решетки a по формуле • Эта зависимость широко используется при рентгеноструктурном анализе кристаллических тел, имеющих кубическую решетку.

• • Основой рентгеноструктурного анализа является формула Вульфа — Брэггов, показывающая условия интерференции отраженных рентгеновских лучей от атомов в параллельных кристаллографических плоскостях кристалла. Лучи, отраженные от этих плоскостей, будут усиливать друга при условии, когда разность пути Δ для лучей равна целому числу длин волн λ: где n — целое число; λ — длина волны рентгеновских лучей; d — межплоскостное расстояние; υ — угол падения и отражения лучей. • Формула для расшифровки линий рентгенограмм, снятых с материалов с кубической решеткой, • получится из предыдущих формул : • • По промерам рентгенограммы устанавливают sinθ. Зная длину волны λ и параметр решетки а, устанавливают индексы плоскости (hkl) от которой получены соответствующие линии на рентгенограмме.

ОСЕВАЯ ПОРИСТОСТЬ При кристаллизации слитка осевая зона незатвердевшего металла все время сужается и в отдельных местах происходит срастание кристаллов, растущих с противоположных боков этой зоны. Под сросшимися кристаллами затвердевание идет без доступа жидкого металла сверху из прибыльной части слитка и поэтому в этих местах образуются мелкие усадочные пустоты.

Домены

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЯВЛЕНИЯ В МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ Направления легкого, среднего и трудного намагничивания в монокристаллах ферромагнитных кристаллов: а — железа; б – икеля в — кобальта

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЯВЛЕНИЯ В МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ рисунке Кривые намагничивания кристаллов железа и никеля вдоль различны» кристаллографических направлений

Магнитострикция Зависимость магнитострикционной деформации поликристаллов железа, кобальта и никеля от напряженности внешнего поля

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Изобразить а) 2 из 6 осей симметрии 2 -го порядка, параллельные диагоналям граней куба, проходящие через середины противоположных ребер; б) 3 оси симметрии 4 -го порядка, перпендикулярные граням куба и проходящие через их центры; в) 4 оси симметрии 3 -го порядка, параллельные диагоналям куба, проходящие через его вершины. 2 Являются ли направления физически равноценными в симметричности решетки: [ 110 ]; [ 101 ]; [ 011 ]; [Ī 10]? . 3. Определите кристаллографические плоскости силу

Задачи