ОСНОВЫ КАБЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В КАБЕЛЕ Для расчета электрического поля в кабеле применим теорему Остроградского – Гаусса, которая в интегральной форме имеет вид т. е. поток (N) вектора электрического смещения (D) через замкнутую поверхность (S) равен сумме зарядов (q), расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.
Теорема Остроградского – Гаусса связывает значения вектора электрического смещения в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой поверхностью. Можно придать этой теореме такую форму, чтобы в нее входили величины, относящиеся к одной и той же точке поля. Введем прямоугольную систему координат x, y, z и обозначим вектор электрического смещения в некоторой точке a(x, y, z) через D(Dx, Dy, Dz).
Поток через плоскость dydz (заштрихована), проходящую через точку a, есть – (знак минус поставлен потому, что внешняя нормаль к плоскости dydz и положительное направление вектора Dx составляют угол = и cos = – 1). Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль оси x на dx, есть
Поток через обе грани где – объем параллелепипеда.
Вычисляя аналогичным образом потоки через другие две пары граней и складывая их, мы получаем полный поток через всю поверхность параллелепипеда:
Если в рассматриваемом пространстве имеется распределенный в объеме заряд с объемной плотностью , то величина заряда, содержащегося в объеме параллелепипеда, равна d. V. Приравняв поток вектора D к заряду получим или Это соотношение, выражающее теорему Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона – div D =
Используя выражение , получим
Если диэлектрическая проницаемость не зависит от координа , то уравнение Пуассона примет вид
Нам предстоит решать общую задачу электростатики, т. е. по заданной форме проводников, их расположению и значению их потенциалов находить значение потенциалов в любой точке между проводниками. Математически эта задача сводится к следующему. Составляющие напряженности поля E по координатам можно выразить через потенциал: ил и , ,
В изоляции кабелей нет свободных зарядов, поэтому или Это уравнение называется уравнением Лапласа.
Распределение напряженности электрического поля по толщине изоляции в кабеле переменного тока Изоляция однородна ( Объемные заряды отсутствуют ( = 0). , Необходимо найти распределение напряжения U и напряженности E электрического поля между жилой и экраном. Воспользуемся уравнением Лапласа в цилиндрической системе координат:
Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат:
Распределение напряжения по толщине изоляции в кабеле переменного тока
Расчет толщины изоляции кабеля переменного тока с круглой жилой и цилиндрическим экраном Определим, при каком соотношении радиусов r 2/r 1 напряженность электрического поля на токопроводящей жиле Eж будет наименьшей. Для этого необходимо взять производную по r 2/r 1 и приравнять ее к нулю. Обозначим r 2/r 1 через x и Emax через Eж – напряженность электрического поля на жиле. Умножим на r 2 числитель и знаменатель уравнения
Заменим отношение радиусов r 2/r 1 на x: Продифференцируем выражение по x и приравняем его к нулю для нахождения минимума функции: , x = e 1 , r 2/r 1 = e.
Зависимость напряженности электрического поля от соотношения радиусов изоляции r 2 и жилы r 1
Коэффициент использования изоляции – средняя напряженность электрического поля. Для соотношения радиусов r 2/r 1 = e получим = 0, 58. Это низкий коэффициент использования изоляции, поэтому соотношение радиусов r 2/r 1 = e применяется редко.
Расчет толщины изоляции где f – коэффициент заполнения, S – сечение жилы. Напряженность электрического поля на токопроводящей жиле имеет равнозначные названия: Emax – максимальная, Eраб – рабочая, Eдоп – допустимая
Длительно допустимые рабочие напряженности электрического поля в изоляции кабелей № п/п Изоляция Марка кабеля Класс напряжения, к. В Допустимая напряженность , к. В/мм 1 Полиэтилен ПВ До 35 2, 9– 3, 1 2 Сшитый полиэтилен Пв. П 10 1, 6– 1, 9 3 Сшитый полиэтилен Пв. П 110 6, 1– 6, 9 4 Бумага, пропитанная вязким маслоканифольным составом ААШв 6, 10 2, 6– 2, 8 5 Бумага, пропитанная вязким маслоканифольным составом ОСБ 20, 35 3, 2– 3, 3 6 Бумага, пропитанная маслом под низким давлением 0, 6– 3 атм МНСК 110, 220 8– 10 Бумага, пропитанная маслом под высоким давлением (11– 16 атм) МВДТ 220, 330, 500 13– 16 7
Регулирование электрического поля с помощью диэлектрической проницаемости В кабелях переменного тока напряженность электрического поля с увеличением радиуса падает по гиперболическому закону. При этом коэффициент использования изоляции меньше 1. Поставим перед собой задачу сконструировать такой кабель, чтобы напряженность электрического поля в изоляции не изменялась с изменением радиуса, т. е. чтобы коэффициент использования изоляции был равен единице. Регулирование электрического поля с помощью диэлектрической проницаемости называется градированием изоляции.
Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса DS = Q. Подставим в уравнение D = 0 E и S = 2 r. L и выразим E:
Интегрируя напряженность Е по радиусу r, получим напряжение ынесем из-под знака интеграла величины, которые не зависят от радиуса: Подставим Q:
После сокращения имеем Выразим напряженность:
В том случае, если произведение r равно постоянной величине а, имеем или
Привыполнении условия r = const = a напряженность не зависит от радиуса и равна средней напряженности, коэффициент использования изоляции = 1 Распределение диэлектри ческой проницаемости по радиусу
Двухслойная изоляция
Распределение напряженности электрического поля по толщине изоляции для кабеля с двухслойной изоляцией
Внесем 1 в квадратные скобки и, используя , а также k = 1/ 2, получим
Выразим радиус r 3, для этого запишем последнюю формулу в следующем виде:
Существуют два способа градирования. В первом способе уменьшается напряженность электрического поля без изменения геометрических размеров кабеля; во втором способе уменьшается радиус кабеля с сохранением прежней напряженности электрического поля.
Электрическое поле в кабеле с тремя круглыми жилами Напряжение в момент времени t 1 Определим напряженность электрического поля в кабеле с тремя круглыми неэкранированными жилами для двух случаев, когда напряженность достигает максимального значения: для времени t 1 и t 2. В момент времени t 1 напряжение на фазе 1 равно нулю, напряжение между фазами 2 и 3 равно линейному (Uл).
где N = r 2/ r 1. Напряженность в точке а определим по формуле для напряженности двухпроводной линии:
В момент времени t 2 напряжение на фазе 1 равно фазному (Uф), напряжения на фазах 2 и 3 равны между собой. Напряженность в точке b определим по формуле для напряженности коаксиального кабеля с радиусом r 3: Напряжение в момент времени t 2 Радиус r 3 найдем из треугольника ABC
Электрическое поле в кабеле с секторными жилами 1 – металлическая оболочка; 2 – поясная изоляция; 3 – фазная изоляция; 4 – токопроводящая жила; 5 – ребро сектора; 6 – грань; 7 – дуга
r 2 = r 1 + ф
Емкость С одной жилы по отношению к двум другим и оболочке: С = С 1 + 2 С 2. Емкость С 1 – это емкость части цилиндрического конденсатора с углом 2 : где L – длина кабеля.
Отрезок ED = O 3 O 2 – это параллельная грань сектора, обозначим ее длину через hг. Из треугольника O 3 O 2 W найдем O 3 O 2 = a/sin β, где
Распределение напряженности электрического поля в изоляции кабеля постоянного тока Согласно закону Ома плотность тока где E – напряженность электрического поля; – проводимость изоляции. На расстоянии r ток через кольцевой слой где S = 2 r. L – площадь цилиндрической поверхности, через которую протекает ток I.
Подставим S в выражение Из закона Ома напряженность поля Интегрируя напряженность от r 1 до r 2, получим напряжение
Удельная проводимость изоляции зависит как от температуры, так и от напряженности электрического поля. Температура и напряженность электрического поля изменяются по радиусу, поэтому оставляем под интегралом:
В изоляции напряженность электрического поля В изоляции у оболочки напряженность электрического поля Разделим E на E 2
Если имеется диэлектрик, проводимость которого зависит от температуры и напряженности электрического поля, то две точки диэлектрика связаны соотношением: где – перепад температур; a – температурный коэффициент удельного объемного сопротивления; k – величина, которая зависит от типа диэлектрика.
Cвяжем проводимость в любой точке изоляции γ с проводимостью γ 2 на радиусе r 2 , т. е. на поверхности изоляции: где E – напряженность электрического поля в любой точке изоляции; E 2 – напряженность электрического поля на радиусе r 2.
Определим перепад температур из теплового закона Ома: или где P – тепловой токопроводящей жилы, сопротивление изоляции. поток, идущий от Sиз – тепловое
Тепловое сопротивление ΔSиз элементарного слоя Δr прямо пропорционально удельному тепловому сопротивлению изоляции σиз, толщине слоя Δr и обратно пропорционально площади поверхности S = 2 r. L: Интегрируя от произвольного радиуса r до r 2, получим зависимость теплового сопротивления изоляции от радиуса относительно r 2:
Подставим Возьмем Подставим и получим
Введем обозначение и преобразование: выполним.
Сделаем некоторые преобразования и получим Введем обозначение .
Возьмем выражение Вычислим отдельно интеграл ,
Подставим интеграл обратно Окончательно имеем.
Проанализируем зависимость E = f(r) при различных значениях m
Сравнительный анализ двух кабелей Тип изоля ции Слабонагру женный Нагруженный кабель P кабель 0 k ПБИ ПЭ b m k b m 0 0 0 0 3 3 2, 2 0 0, 2, 2 7 3 1, 5
Слабонагру женный кабель P 0 Тип изоляци и Нагруженный кабель k ПБИ ПЭ b m k b m 0 0 0 0 3 3 3 1, 5 2, 2 0 0, 7 2, 2 Распределение напряженности электрического поля по толщине изоляции в кабеле постоянного тока: 1 – слабонагруженный кабель с пропитанной бумажной изоляцией; 2 – слабонагруженный кабель с полиэтиленовой изоляцией; 3 – нагруженный кабель с пропитанной бумажной изоляцией; 4 – нагруженный кабель с полиэти леновой изоляцией
Скачать презентацию ОСНОВЫ КАБЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В КАБЕЛЕ Для
ОКТ_ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 2012.ppt