ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Е М Бронштейн

ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Е. М. Бронштейн

• Бронштейн Ефим Михайлович • Кафедра вычислительной математики и кибернетики • каб. 6 -414 а • E-mail: bro-efim@yandex. ru 2

ЛИТЕРАТУРА 1. Бронштейн Е. М. Основы функционального анализа. Изд. УГАТУ 2. Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа 3. Люстерник Л. А. , Соболев В. А. Основы функционального анализа 4. Треногин В. А. Функциональный анализ 3

1. Метрические пространства • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х, у которого сопоставлено число (х, у), удовлетворяющее следующим условиям: 1) Неотрицательность: (х, у) 0, причем условие (х, у) = 0 равносильно тому, что х = у. 2) Симметричность: (х, у) = (у, х). 3) Неравенство треугольника: (х, у) (х, z)+ (z, у). 4

• Обратное неравенство треугольника (х, z) (z, у) (х, у) Любое множество Y X можно считать наделенным метрикой . Оно называется подпространством X. 5

• Являются ли метриками на множестве вещественных чисел функции • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. • 6. • 7. 6

• Каким условиям должна удовлетворять определенная на множестве вещественных чисел непрерывная функция f(x), чтобы функция являлась метрикой? • Являются ли метриками на множестве натуральных чисел функции 7

• Докажите, что если метрика на пространстве X, то метриками являются функции 8

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если числовая последовательность (хn, х0) является бесконечно малой (стремится к 0). • Точка х0 называется пределом последовательности {хn}, если > 0 N n > N выполняется неравенство (хn, х0) < . 9

• Обозначения: хn х0, lim хn = х0 • Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся • Если {хn} – последовательность в метрическом пространстве и n 1<n 2<…<nk<… натуральные числа, то последовательность называется подпоследовательностью {хn} 10

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для сходимости последовательности необходима и достаточна сходимость всех ее подпоследовательностей. При этом все они имеют один и тот же предел. • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный. 11

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если последовательность {хn} в метрическом пространстве Х сходится, то для любой точки а Х числовое множество { (а, хn)} ограничено. 12

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть a Х, r > 0. Шаром B радиуса r с центром в точке a называется множество точек, удаленных от a меньше, чем на r: B(a, r) = {x Х: (a, x) < r}. Замкнутый шар: (a, r) = {x Х: (a, x) r}. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Множество в метрическом пространстве Х называется ограниченным, если оно расположено в некотором шаре. 13

Некоторые неравенства • 1. Пусть p, q – положительные вещественные числа, такие, что При любых а, b выполняется неравенство 14

1. К доказательству А) Рассмотрим функцию (t) = tm mt при t>0, m (0, 1). Достигает максимума при t=1: tm mt 1 m tm 1 m(t 1) В) t = ap/bq, m=1/p 15

2. Неравенство Гельдера для конечных сумм Пусть x 1, x 2, …, xn; y 1, y 2, …, yn вещественные числа. Тогда 16

2. К доказательству Полагаем a = xi/A, b = yi/B в неравенстве 1. При p = q = 2 неравенство Коши Буняковского 17

3. Неравенство Гельдера для рядов Пусть ряды сходятся. Тогда сходится и ряд , причем 18

4. Интегральное неравенство Гельдера Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0, 1], 19

4. К доказательству а = х(t)/A, b = y(t)/A 20

5. Неравенство Минковского для конечных сумм (p 1) К доказательству 21

6. Неравенство Минковского для рядов (p 1) Если сходятся ряды , то сходится ряд , причем 22

7. Неравенство Минковского для интегралов х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0, 1], p≥ 1. 23

Примеры метрических пространств 1. - Множество вещественных чисел R Расстояние (x, y)=|x y| Свойства Сходимость 24

2. Конечномерные пространства Элементы – вектора х = (х1, х2, …, хn) Расстояние p(х, у) = сходимость равносильна покоординатной сходимости 25

• Пространство расстояние: (х, у) = сходимость также равносильна покоординатной Особый случай – р = 2. Замкнутые шары пространств при различных значениях р с центром в точке 0 = (0, 0) и радиусом 1. 26

3. Пространство непрерывных функций С - Множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0, 1]. - Расстояние - сходимость равномерная (в отличие от поточечной) 27

4. Пространства непрерывных функций Lpс Множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0, 1]. Расстояние 28

• Пример последовательности непрерывных функций, которая в Lpс сходится к 0 и при этом не сходится ни в одной точке интервала (0, 1). - Разобьем отрезок [0, 1] на 3 равные части и обозначим через f 1(x) функцию, равную 0 в точках 0 и 1, равную 1 на отрезке [1/3, 2/3] и линейную на отрезках [0, 1/3] и [2/3, 1]. - Затем разобьем отрезок на 4 равные части и обозначим через f 2(x) функцию, равную 0 на отрезке [3/4, 1] и в точке 0, равную 1 на отрезке [1/4, 1/2], линейную на отрезках [0, 1/4], и [1/2, 3/4] и через f 3(x) функцию, равную 0 на отрезке [0, 1/4] и в точке 1, равную 1 на отрезке [1/2, 3/4], линейную на отрезках [1/4, 1/2] и [3/4, 1]. - Продолжим построение

5. Пространства последовательностей lp Элементы - последовательности х = (х1, х2, …, хn, …), ряд сходится Расстояние Из сходимости в пространстве lp следует покомпонентная сходимость. Обратное неверно 30

6. Пространство ограниченных последовательностей т (l ) Элементы: х = (х1, х2, …, хn, …), хn М(х) Расстояние (х, у)= Из сходимости в пространстве т следует покомпонентная сходимость. Обратное неверно 31

7. Пространство сходящихся последовательностей с Элементы - сходящиеся последовательности х = (х1, х2, …, хn, …) с расстоянием (х, у) = • подпространство пространства т 32

8. Дискретные метрические пространства (x, y)=1, если x y Шар В(х, ) = В(х, 1) (1 > > 0) содержит только центр шара. Последовательность хn сходится тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого номера, ее члены совпадают. 33

9. Коды последовательности длины п, состоящие из бинарных символов 0 и 1. 34

Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х метрическое пространство, М Х, а Х. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М {a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а. 35

ЗАМЕЧАНИЯ 1. Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0, 2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит. 2 Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 изолированная точка множества ( 1, 0) {1}. 36

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек хn M, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. 37

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. 38

Свойства замыкания 1. 2. 3. 4. 5. М Если М N, то Замыкание пустого множества является пустым. 39

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M X называется замкнутым, если M= Множество M X называется открытым, если замкнуто множество XM. Множество M X называется всюду плотным в X, если = X. 40

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a, r) M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит в множество вместе с некоторой окрестностью. • Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a, r) Х/M при некотором положительном r, т. е. внешняя точка не входит в множество вместе с некоторой окрестностью. • Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными. 41

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними. 42

• • • ЗАМЕЧАНИЯ Примеры замкнутых множеств на прямой – [a, b], [a, ), открытых – (a, b), (a, ). Множество [a, b) не открытое и не замкнутое (оно не содержит предельной точки b, а дополнительное множество не содержит предельной точки a). Все метрическое пространство Х и пустое множество в силу соглашения 5 являются одновременно открытыми и замкнутыми. В дискретных метрических пространствах все подмножества одновременно открытые и замкнутые. 43

• Объединение двух (а тогда и любого конечного семейства) замкнутых множеств замкнуто. • Объединение любого (в том числе бесконечного) семейства открытых множеств является открытым. • Объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может и не быть замкнутым, например, (0, 1)= 44

НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть Х, Y – метрическое пространство. Отображение f: Х Y называется непрерывным в точке a Х, если из того, что хn a следует, что f(хn) f(a). Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х. 45

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Для того чтобы отображение было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y был открытым подмножеством Х. 46

ЗАМЕЧАНИЯ 1. Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. 2. Образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Пример. Образ открытого множества ( 1, 1) при непрерывном отображении y = x 2. 47

3. Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Пример. Отображение f : [ 1, 1] {a, b} : f[ 1, 0] = {a}, f(0, 1] = {b}. (Дискретное пространство) 48

- Суперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. - Если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным. Пример. Отображение множества [0, 2 ) на единичную окружность с центром в начале координат. 49

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение f: Х Y называется топологическим или гомеоморфизмом , если оно непрерывное, взаимно однозначное соответствие и обратное отображение также непрерывное. 50

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Последовательность {xn} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 N n>N p (xn, xn+p)<. • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если последовательность {xn} сходится, то она фундаментальная. 51

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится. • Теорема Коши: метрическое пространство вещественных чисел является полным. 52

• Пример неполного метрического пространства: Х = (0, 1) с расстоянием (x, y) = x y. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным. 53

- Пространство полное. - Пространство C полное. - Дискретное метрическое пространство полное. - Пространство Lpс полным не является. 54

• Пример. 55

• Принцип вложенных отрезков. Любая последовательность вложенных отрезков [a 1, b 1] [a 2, b 2] … [an, bn] … имеет общую точку, причем если (bn an) 0, то такая точка единственная. 56

• ТЕОРЕМА 1. Вложенная последовательность замкнутых шаров в полном метрическом пространстве, радиусы которых стремятся к 0, имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное. • Для открытых шаров теорема неверна. 57

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Отображение A: X X метрического пространства X в себя называется сжимающим , если при некотором числе (0, 1) для любых точек x, y X выполняется неравенство (Ax, Ay) (x, y). 58

ТЕОРЕМА 2. (Принцип сжимающих отображений ). Если A – сжимающее отображение в полном метрическом пространстве X, то существует единственная неподвижная точка y отображения A, т. е. такая, что Ay=y. 59

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1. Сжимающее отображение является непрерывным. 2. х0 – произвольная точка X. Последовательность х1 = Ах0, х2 = Ах1, …, хn+1 = Ахn, … 60

3. {xn} сходится к некоторой точке y. Аy = y. 4. Единственность. 61

Компактные метрические пространства • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Метрическое пространство Х называется компактным , если из всякой последовательности в Х можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. • Компактное подпространство метрического пространства – компактное множество. 62

• Два свойства. • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8. Компактное пространство является ограниченным. • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Компактное подпространство Y метрического пространства Х является замкнутым. 63

• ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подпространство Y пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным. • В других – может не выполняться (дискретное, m) 64

• В компактных пространствах справедлив аналог теоремы о вложенных шарах в более сильной форме. • ТЕОРЕМА 4. (Кантор). Любая вложенная последовательность компактных подмножеств в метрическом пространстве имеет непустое пересечение. 65

• ТЕОРЕМА 5. Образ компактного метрического пространства X при непрерывном отображении является компактным. • Вещественная непрерывная функция, определенная на компактном метрическом пространстве, имеет наибольшее и наименьшее значения – обобщение теоремы Вейерштрасса из математического анализа 66

• ЗАМЕЧАНИЯ • 1. Прообраз компактного множества при непрерывном отображении может не быть компактным. Например, функция sin(x) отображает некомпактное пространство ( ) на компактное [ 1, 1]. • 2. В теореме компактность нельзя заменить полнотой. Например, функция отображает полное пространство [1, ) на неполное (0, 1]. 67

• Связь между понятиями замкнутости, полноты и компактности. • Замкнутость является свойством внешним, т. е. предполагается наличие объемлющего метрического пространства. Любое метрическое пространство является собственным замкнутым подмножеством (см. п. 3. 4). Компактность и полнота являются внутренними свойствами метрических пространств. • Из компактности следует полнота (упражнение 3. 4), обратное неверно. Пример пространство R. • В то же время, полное подпространство является замкнутым (упражнение 3. 16). 68

Упражнения • 1. Пусть метрика в пространстве X. Докажите, что *(x, y) = min{ (x, y), 1} также метрика, причем если исходное пространство полное, то полным является и модифицированное пространство. • 2. Пусть f(x) – строго монотонная функция, определенная на множестве R. Докажите, что (x, y) = f(x) f(y) метрика. • 3. Докажите, что объединение конечного и пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутыми. • 4. Докажите, что если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то сходится и сама последовательность. 69

Упражнения • 5. Пусть {xn}, {yn} – фундаментальные последовательности. Докажите, что существует предел lim (xn, yn). • 6. В каких из пространств т, l 1, l 2 сходятся последовательности: • а) {x(n)}= • б) {x(n)}= • • в) {x(n)}= ? 70

Упражнения • 8. Докажите, что из сходимости последовательности непрерывных функций в пространстве С следует сходимость в пространстве L 2 c, а наоборот не обязательно. • 9. Докажите, что из сходимости последовательности непрерывных функций в пространстве L 2 c следует сходимость в пространстве L 1 c, а наоборот не обязательно. • 10. Открыто ли множество U={(x 1, x 2, …, xn, …) l 2: n xn>0} в пространстве l 2? 71

• 11. Докажите, что множество U ={f(x) C: f(x) > 0 при x [0, 1/2]} не замкнуто в пространстве С. • 12. Являются ли множества а) {x X: (x, a) = 1}, б) {x X: (x, a) = (x, b)} замкнутыми в метрическом пространстве Х? • 13. Докажите, что полное подпространство метрического пространства является замкнутым. • 14. Докажите, что функция f(x) = непрерывна на пространстве l 1 72

• 15. Докажите, что непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства является гомеоморфизмом. • 16. Докажите, что отображение А компактного метрического пространства в себя, удовлетворяющее условию (Ах, Аy) < (х, y), имеет неподвижную точку. Справедливо ли это заключение, если (Ах, Аy) (х, y)? • 17. Докажите, что отображение А компактного метрического пространства в себя, удовлетворяющее условию (Ах, Аy) ≥ (х, y), является изометрией, т. е. удовлетворяет условию (Ах, Аy) = (х, y). Обязательно ли у него есть неподвижная точка? 73

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА • Линейное (векторное) пространство – множество X, для которого определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами: 1. x+y = y+x; 2. (x+y)+z = y+(x+z); 3. существует такой элемент (нулевой) 0 X, что x+0 = x для любого x; 4. для всякого x X существует обратный ( x), т. е. такой, что x+( x) = 0; 5. ( )x = ( x); 6. ( + )x = x+ x; 7. (x+y) = x+ y; 8. 1 x = x. 74

Основные понятия и примеры • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество Х называется линейным нормированным пространством, если: 1. X является линейным пространством. 2. На Х определена вещественнозначная функция ||х|| (норма), которая обладает следующими свойствами: - ||х|| 0, причем ||х|| = 0 только при х = 0, - || х|| = ||х||, - ||х+y|| ||х||+||y||. 75

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10. Величина (x, y)=||x y|| обладает свойствами метрики. • Выполняется свойство (x, y) = (x+z, y+z). • Полные линейные нормированные пространства называются банаховыми 76

Примеры ЛНП 1. 2. 3. 4. 5. Конечномерные пространства Пространство С Пространство m Пространство Lpс Пространство lp 77

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11. Если хn х, yn y в пространстве Х и n в пространстве R, то • хn+yn х+y; • nхn х; • ||хn|| ||х||. 78

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12. Шары (замкнутые шары) в линейном нормированном пространстве являются выпуклыми множествами. • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 13. Замыканием шара B(a, r) (r>0) является замкнутый шар (a, r). • В общем случае метрических пространств это неверно. 79

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Замкнутое линейное многообразие в линейном нормированном пространстве называется линейным подпространством. - В пространстве l 1 подпространством является множество 80

- Линейное многообразие в пространстве С, состоящее из непрерывно дифференцируемых функций, подпространством не является. ТЕОРЕМА 6 (Ф. Рисс ). Пусть L подпространство линейного нормированного пространства Х, не совпадающее со всем пространством. Для любого >0 существует вектор y такой, что 1 для всех х L. 81

Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть Х, Y линейные нормированные пространства. Отображение А: Х Y называется линейным (синоним: линейным оператором ), если А(х1+х2)=А(х1)+А(х2), А( х)= А(х). • Линейный оператор А называется изоморфизмом , если существует оператор А 1 обратный А и при этом отображения А и А 1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: Х Y. 82

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Если А: Х Y линейное непрерывное отображение и множество М Х ограниченное, то множество А(М) также ограниченное. • ТЕОРЕМА 7. Любые два n-мерных линейных нормированных пространства изоморфны. 83

• Следствие. Поскольку пространство полное, то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. • Отсюда, конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством 84

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: Х Y, сохраняющее расстояния, т. е. такое, что (x, y) = (f(x), f(y)) (изометрия). • Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией. 85

• Заключение теоремы 7 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства не изометричны при различных р. • Проверим это в частном случае п=2; р=1, р=2. 86

Компактность в линейных нормированных пространствах • Пространства, в которых любое замкнутое ограниченное множество компактное, называются локально компактными. • ТЕОРЕМА 8. Для того чтобы линейное нормированное пространство являлось локально компактным, необходима и достаточна его конечномерность. 87

• Критерии компактности • Множество функций М С называется равностепенно равномерно непрерывным, если >0 x М t 1, t 2 [0, 1] t 1 t 2 < x(t 1) x(t 2) <. ТЕОРЕМА 9 (Арцела ). Для того чтобы замкнутое ограниченное подмножество пространства С было компактным, необходимо и достаточно, чтобы подмножество было равностепенно равномерно непрерывным. 88

• ТЕОРЕМА 10. Для того чтобы замкнутое ограниченное подмножество М пространства lр было компактным, необходимо и достаточно, чтобы >0 N x М 89

Гильбертовы пространства • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Пусть Х – линейное пространство и каждой паре векторов из Х сопоставлено вещественное число (скалярное произведение (x, y)), удовлетворяющее следующим условиям: - симметричности (x, y) = (y, x); - ассоциативности по сложению (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y); - ассоциативности по умножению на скаляры ( x, y) = (x, y); - неотрицательности (x, x) 0, причем равенство (x, x) = 0 выполняется только при x = 0. Такое пространство называется пространством со скалярным произведением. 90

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 15 (Неравенство Коши Буняковского). Для скалярного произведения справедливо неравенство (x, y)2 (x, х)(y, y). • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 16. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением. 91

• Пусть дано линейное нормированное пространство. Когда в нем можно определить скалярное произведение, порождающее норму? • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 17. В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество: ||x + y||2 + ||x y||2 = 2||x||2 + 2||y||2. 92

• Пространство С не является пространством со скалярным произведением. Пример: функции х(t) = t, y(t) = 1 t. • ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением, полное относительно соответствующей нормы, называется гильбертовым. Гильбертово пространство будем обозначать символом Н. 93

• Гильбертовым является пространство l 2 (со скалярным произведением необходимо доказать, что ряд сходится). 94

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 18. Если в пространстве со скалярным произведением xn x, yn y, то (xn, yn) (x, y). • Угол [0, ] между векторами x, y определим по формуле cos = 95

• ТЕОРЕМА 11. Пусть L – подпространство гильбертова пространства Н. Любой вектор x Н можно единственным образом представить в виде y + z, где y L, z L. Вектор y называется проекцией x на подпространство L. • Множество векторов, ортогональных L, является линейным подпространством. Это подпространство называется ортогональным дополнением L и обозначается L , а пространство Н называется прямой суммой подпространств L и L (обозначение Н=L L ). 96

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Бесконечное семейство векторов называется линейно независимым, если таковым является любое его конечное подсемейство. • Ортонормальное семейство: система векторов (a 1, a 2, …, an, …), у которой (ai, aj) = 0 при i j и (ai, ai) =1 при всех i. 97

• ортогонализация Гильберта Шмидта • ТЕОРЕМА 12. Всякое гильбертово пространство, в котором существует всюду плотная последовательность элементов (f 1, f 2, …, fn, …) (такие пространства называются сепарабельными), изометрично пространству l 2. 98

Упражнения 1. Пусть а [0, 1] и Сa={x С: x(а)=0}. Докажите, что Сa подпространство С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L 2 c? 2. Докажите, что множество функций из С, для которых , является бесконечномерным подпространством в С. 3. Пусть а [0, 1] и Сa, h={x С: x(а)=h}. Докажите, что Сa, h аффинное многообразие в С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L 2 с? 99

4. Докажите, что множество функций из С, непрерывно дифференцируемых на интервале (0, 1), является линейным многообразием, но не подпространством в С. 5. В гильбертовом пространстве даны последовательности {xn}, {yn} такие, что ||xn|| 1, ||yn|| 1 и (xn, yn) 1. Докажите, что ||xn yn|| 0. 6. Докажите, что множество {x: ||x a|| = ||x b||} является выпуклым в гильбертовом пространстве. Верно ли это заключение для произвольного банахова пространства? 7. Докажите, что образ и прообраз выпуклого множества при линейном отображении являются выпуклыми. 100

8. Пусть для множеств A, B в линейном пространстве A+B = {x+y: x A, y B}. Докажите, что множество А в линейном пространстве является выпуклым тогда и только тогда, когда для любых положительных , справедливо равенство ( + )А = А+ А. 9. Пусть А замкнутое и B компактное множества в банаховом пространстве Х. Докажите, что множество А+B замкнутое. При этом из замкнутости А и B не следует замкнутость А+B. 10. Докажите непосредственно, что множество {x l 2: xi 1/i} компактно в l 2. 11. Пусть L конечномерное подпространство линейного нормированного пространства Х, х Х. Докажите, что существует вектор y L такой, что ||х y|| ||х z|| для любого вектора z L. 101

Линейные операторы • Пространство линейных операторов • Пусть X, Y – линейные нормированные пространства. • L(X, Y) – множество непрерывных линейных операторов. 102

• ПРИМЕРЫ 1. А = (аij) (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n) – квадратная матрица. А(х1, …, хn) = 103

• 2. Пусть K(t, s) функция, непрерывная на квадрате 0 t 1, 0 s 1. y(s) = линейный оператор A: C C. 104

• 3. Ах(t) = • 4. Линейный оператор дифференцирования не является непрерывным из С в С. 105

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Линейный оператор А: X Y называется ограниченным , если существует такое положительное число Р, что ||Аx|| Р||x||. Здесь ||Аx|| норма элемента в пространстве Y, ||x|| норма элемента в пространстве X. • ТЕОРЕМА 13. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности. 106

• Множество линейных непрерывных операторов L(X, Y) можно наделить структурой линейного нормированного пространства. - Если А, B L(X, Y), то суммой А+B линейных операторов называется оператор, действующий по правилу (А+B)(х) = Ах +Bх. - Если А L(X, Y), R, то произведением оператора на число называется оператор ( А)(х) = (Ах). - Норма оператора 107

• ПРЕДЛОЖЕНИЕ 19. Определенная функция действительно является нормой. • ТЕОРЕМА 14. Если Y – банахово пространство, то и пространство L(X, Y) банахово. 108

• Сопряженные пространства и слабая сходимость • Линейный оператор А: X R называется линейным функционалом. Пространство L(X, R) банахово, поскольку пространство вещественных чисел полное. • норма линейного функционала: 109

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Пространство L(X, R) называется пространством, сопряженным к X, обозначается X*. • Примеры 1. 2. 110

3. При p>1 (lp)*= lq 4. (l 1)*=m. При этом m* l 1. 5. Сопряженным к пространству С является пространство функций с ограниченной вариацией. 6. ТЕОРЕМА 15. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству Н, изометрично Н. 111

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Последовательность {xn} в линейном нормированном пространстве слабо сходится к вектору x 0, если для любого непрерывного функционала f справедливо утверждение f (xn) f (x 0). • Из xn x 0 по норме (в старом смысле) следует слабая сходимость. 112

• Обратное неверно. • Пример. В гильбертовом пространстве l 2 последовательность векторов х1= (1, 0, …), х2= (0, 1, 0, …), … 113

УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что линейный функционал является равномерно непрерывным. 2. Операторы А, B: C C таковы: Ах = , Bх = tx(t). Найдите нормы этих операторов и докажите, что АB BА. 3. На множестве всех вещественных многочленов определены операторы Ар = р , Bр = xр. Найдите оператор АB BА. 114

4. Докажите линейность, ограниченность и найдите норму функционала F: L 2 R, где Fх = 5. Ядром линейного оператора называется прообраз нулевого элемента. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l 2, заданных формулами (х1, х2, …) (0, х1, х2, …); (х1, х2, …) (х2, х3, …); (х1, х2, …) (х1, х2/2, х3/3, …) 115

6. Пусть линейный функционал удовлетворяет условию. Докажите, что F(x) = 0. 7. Докажите, что линейный функционал, неотрицательный на некотором шаре, ограниченный. 8. Если в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0 и ||хn|| ||х0||, то хn х0. 116

9. Если в гильбертовом пространстве последовательность {хn} слабо сходится к х0 и последовательность {yn} сходится по норме к y 0, то (хn, yn) (х0, y 0). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {yn}? 117