Основы аналитической геометрии 1 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА

Основы аналитической геометрии

1. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Если радиус-векторы точек М 0 и М обозначить через и соответственно, то уравнение (1) можно записать в виде Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку М 0 и имеющей направляющий вектор.

В координатной записи уравнение (1) имеет вид: или Система уравнений (3) называется параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку М 0(x 0, y 0) и имеющей направляющий вектор.

Параметрическое уравнение (3) равносильно уравнению, которое называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Замечание: в каноническом уравнении (4) допускаются значения а 1 = 0 или а 2=0. это не означает, что можно выполнить деление на 0. Из канонического уравнения получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты, из которых одна нулевая. Причем в случает а 1 = 0 уравнение прямой имеет вид x - x 0 = 0 или x = x 0, а в случае а 2 = 0 уравнение прямой имеет вид y - y 0 = 0 или y = y 0. y y x = x 0 y = y 0 O x 0 x O x

Задача. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки М 0(x 0, y 0) и М 1(x 1, y 1) М 0(x 0, y 0) Решение: вектор является направляющим вектором прямой. Значит, прямая, проходящая через заданные две точки М 0(x 0, y 0) и М 1(x 1, y 1) это та же прямая, которая проходит через точку М 0(x 0, y 0) и имеет направляющий вектор. Уравнение этой прямой по формуле (4) имеет вид: Уравнение (5) и есть уравнение прямой, проходящей через две точки М 0(x 0, y 0) и М 1(x 1, y 1).

Теорема. Всякая прямая на плоскости задается некоторым уравнение первого порядка от двух переменных x и y и, наоборот, любое такое уравнение является уравнением некоторой прямой на плоскости. Уравнение (6) называется общим уравнением прямой на плоскости. Замечание: Вектор является направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением.

Замечание. Пусть в общем уравнении прямой (6) коэффициент В≠ 0. Тогда уравнение (6) можно представить в виде или Где Число k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (7) – уравнением прямой с угловым коэффициентом. Т. о. любая прямая, не параллельная оси Оy (В≠ 0), может быть задана уравнением с угловым коэффициентом.

Замечание. Угловой коэффициент k прямой определяется однозначно и равняется тангенсу угла наклона прямой к оси Ox: y А α α O -В x

2. НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Опр. Если вектор перпендикулярен направляющему вектору прямой l, то он называется нормальным вектором прямой l. y l O x

Теорема. Пусть прямая задана общим уравнением: Тогда вектор является нормальным вектором этой прямой.

Задача. Найти уравнение прямой l, которая проходит через точку М 0(x 0, y 0) и имеет нормальный вектор. Решение: Возьмем на прямой l произвольную точку М(x, y) и рассмотрим вектор. y Т. к. векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: М(x, y) , т. е. М 0(x 0, y 0) O Уравнение (8) называется уравнением прямой, проходящей через точку М 0(x 0, y 0) перпендикулярно вектору. x

Теорема. Расстояние d от точки М 0(x 0, y 0) до прямой, заданной общим уравнением вычисляется формулой

Задача. Найти расстояние от точки М 0(1, 5) до прямой, заданной общим уравнением 3 x – 4 y – 3 = 0. Решение: По формуле (9) имеем

3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Пусть l 1 и l 2 – две произвольные прямые на плоскости. Опр. Углом между двумя прямыми l 1 и l 2 на плоскости называется угол между их направляющими векторами.

Пусть l 1 и l 2 заданы общими уравнениями: - направляющие векторы. Тогда косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

условие перпендикулярности прямых: прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, если нормальные векторы ортогональны, т. е. условие параллельности прямых: прямые l 1 и l 2 параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т. е. координаты этих векторов пропорциональны

если прямые l 1 и l 2 - не параллельны оси Oy и заданы уравнениями с угловым коэффициентом (7): Тогда угол между двумя прямыми определяется формулой: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда тангенс угла между ними равен нулю: tgφ=0, т. е. выполняется равенство k 1 = k 2. Прямые l 1 и l 2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда φ=π/2, а значит, котангенс угла между ними равен нулю: Отсюда получаем условие перпендикулярности прямых: