ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Алгебра логики возникла в

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах Дж. Буля. Первоначально создавалась для решения традиционных логических задач алгебраическими методами. Позднее основными объектами (операндами) алгебры логики стали высказывания и логические операции над ними.

Под высказываниями понимаются предложения, относительно которых можно утверждать истинны они или ложны. Для обозначения и с т и н о с т и вводится символ “И” (TRUE, позднее цифра 1), для обозначения л о ж н о с т и “Л” (false, позднее 0).

Л о г и ч е с к и е о п е р а ц и и обозначаются (“не ” - отрицание, & ( “И”) - конъюнкция, (логическое умножение) V (“ИЛИ “, ”+” ) - дизъюнкция, (логическое сложение) => ( “если то”) - импликация, ~ (“эквивалентно”) эквивалентность.

Подобно алгебре чисел, алгебра логики имеет свои законы, записываемые формулами. Эти законы выражают свойства логических операций и используются при вычислении значений логических выражений. В качестве о п е р а н д о в в логических выражениях выступают к о н с т а н т ы или п е р е м е н н ы е, которые принимают только два значения: “ИСТИНА ” (1) или “ЛОЖЬ” (0). Операции задаются таблицами истинности. (Пример: логические переменные получаются как результат выполнения операций отношения

С= А > B, где А, В вещественные переменные принимающие числовые значения, С – логическая переменная, принимающая либо TRUE либо FALSE в зависимости о т значений А, В ). Простое логическое выражение – выражение, в котором логические переменные и константы (операнды) связаны знаками логических операций. Логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО

Логические операции и таблицы истинности F =

Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - это выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

F = A & B.

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ

F = A V B

Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых второе (В)– следствием из этого условия. результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности"

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении: 1. инверсия 2. конъюнкция 3. дизъюнкция 4. импликация 5. эквивалентность Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Основные законы логики : А = А – закон тождества А & = 0 – закон непротиворечия. (Закон выражает тот факт, что высказывание не может быть одновременно истинным и ложным) A = 1 – закон исключенного третьего. (Закон означает, что либо высказывание истинно, либо его отрицание должно быть истинным). = А – закон двойного отрицания

Законы идемпотентности: А А = А А = A Законы коммутативности: А В = В А Законы ассоциативности: А (В С) = (А В) С А (В С) = (А В) С

Законы дистрибутивности: А (В С) = (А В) (А С) А (В С) = (А В) (А С) Законы поглощения: А (А В) = А

Базовые логические элементы компьютера

Построение таблиц истинности для сложных выражений: Количество строк = 2 n + две строки для заголовка ( n - количество простых высказываний) Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем – определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

D = & ( B+C ) А, В, С - три простых высказывания, поэтому : количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т. к. на входе три элемента А, В, С) количество столбцов : 1) А 2) В 3) С 4) не A это инверсия А (обозначим Е) 5) B + C это операция дизъюнкции (обозначим F) 6) D = & ( B+C ), т. е. D = E & F это операция конъюнкции