Основы алгебраической логики Вопросы 1 Основные понятия

Основы алгебраической логики

Вопросы 1. Основные понятия математической логики. 2. Приложения математической логики.

Основные понятия математической логики • Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. английским математиком Дж. Булем(1815 -1864). • Алгебра логики – раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. • Высказывание – некоторое предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. • Аппарат булевой алгебры состоит из трех множеств: элементов, операций над ними и аксиом. • Элементы. Множество элементов булевой алгебры называется бинарным В = {0, 1}, а сама алгебра называется бинарной, или переключательной.

Основы математической логики Базовые логические операции

Основы математической логики Аксиомы (постулаты) алгебры логики. 1. Дизъюнкция (логическое сложение) двух переменных равна 1, если хотя бы одна из них равна 1, и равна 0, если обе переменные равны 0 Формула функции логического сложения: где F – составное высказывание, A, B – аргументы (логические переменные, исходные высказывания). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции

Основы математической логики 2. Конъюнкция (логическое умножение) двух переменных равна 0, если хотя бы одна переменная равна 0 и равна 1, если обе переменные равны 1. Формула функции логического умножения: где F – составное высказывание, A, B – аргументы.

Основы математической логики 3. Инверсия (логическое отрицание) Результатом операции НЕ является следующее: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным; если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным. Образуем высказывание: где F – логическое высказывание, A – аргумент. Истинность такого высказывания задается таблицей истинности функции логического отрицания:

Законы алгебры логики. Рассмотрим основные законы алгебры логики. • 1. Законы однопарных элементов: а) универсального множества: x + 1 = 1; х∙ 1 = х, б) нулевого множества: х + 0 = х; х ∙ 0 = 0.

• 2. Законы отрицания: а) двойного отрицания: б) дополнительности: в) двойственности (де Моргана):

• 3. Комбинационные законы: а) тавтологии: б) коммутативные: в) ассоциативные (сочетательные): г) дистрибутивные (распределительные): д) закон абсорбции (поглощения): е) склеивания:

Логические функции В алгебре логики все логические функции могут быть выражены путем логических преобразований через три базовые: – логическое умножение, – логическое сложение – логическое отрицание.

Логическое следование (импликация). Логическая операция импликации «если А, то Б» обозначается А —> В и выражается с помощью логической функции F, которая задается соответствующей таблицей истинности Если первое высказывание (посылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно.

Пример «Безопасность движения» Если поезд прибывает на данный путь, то подается сигнал что путь закрыт. А=“Поезд прибывает на данный путь” B=“Подается сигнал что путь закрыт” Рассматриваемое сложное высказывание истинно, если: 1. Поезд прибывает, сигнал “закрыт”(1, 1, 1) 2. Поезд не прибывает, сигнал “свободен”(0, 0, 1) 3. Поезд не прибывает, сигнал “закрыт”(0, 1, 1) Если поезд не прибывает безопасен любой сигнал. Безопасность не обеспечивает если Поезд прибывает, сигнал “свободен”(1, 0, 0)

• Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «. . . тогда и только тогда, когда. . . » . • Логическая операция эквивалентности «А эквивалентно В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции F,

Основы математической логики Приложения математической логики Впервые практическое применение булевой алгебры было сделано К. Шенноном в 1938 г. для анализа и разработки релейных переключательных сетей. Логический элемент – это устройство, выполняющее одну из основных логических операций: И, ИЛИ, НЕ.

К основным логическим элементам вычислительных устройств относятся электронные схемы, реализующие операции: • И, • ИЛИ, • НЕ, • И- НЕ, • ИЛИ-НЕ и др.

Схема И Реализует конъюнкцию двух или более логических значений: единица (1) на выходе схемы будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы (1). Примечание – знак & ( «амперсэнд» ) – конъюнкция. (AB)

Схема ИЛИ Реализует дизъюнкцию двух или более логических значений: когда хотя бы на одном входе схемы будет единица (1), на её выходе также будет единица (1). (AVB)

Схема НЕ (инвертор) Реализует операцию отрицания: если на входе схемы ноль (0), то на выходе единица (1); когда на входе единица (1), то на выходе ноль (0). (Ā)

Схема И-НЕ Состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.

Схема ИЛИ-НЕ Состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

Вопросы для самопроверки 1. Правильным результатом выполнения логической операции дизъюнкции (ИЛИ) является… • • 1) ЛОЖЬ ИЛИ ЛОЖЬ = ИСТИНА 2) ИСТИНА ИЛИ ЛОЖЬ = ЛОЖЬ 3) ИСТИНА ИЛИ ИСТИНА = ЛОЖЬ 4) ЛОЖЬ ИЛИ ИСТИНА = ИСТИНА 2 Результатом выполнения логической операции будет ИСТИНА, если… • 1) A – ЛОЖЬ, B – ЛОЖЬ, C – ЛОЖЬ • 2) A – ИСТИНА, B – ЛОЖЬ, C – ЛОЖЬ • 3) A – ИСТИНА, B – ИСТИНА, C – ЛОЖЬ • 4) A – ИСТИНА, B – ЛОЖЬ, C – ИСТИНА

3. Определить результат выполнения логической операции если… A – ИСТИНА, B – ИСТИНА, C – ЛОЖЬ Решение: Операции выполняются в следующей последовательности: • логическое отрицание, • логическое умножение, • логическое сложение. Если ложь – логический 0; истина – логическая 1, то Ответ: истина

4. Определить значение логической функции , если А = 1 Ответ: B = 1:

5. Логическому выражению равносильно выражение … (самостоятельно) 6. Составить таблицу истинности логического выражения: D = ¬ А & (B C). (самостоятельно)

6. Логическая функция принимает значение Ложь (0) при …? Решение. • Порядок выполнения логических операций: 1) 2) 3) 4) 5) • Составим таблицу истинности логической функции • Из таблицы видно, что логическая функция F принимает значение 0 только при

6. На рисунке представлено условное графическое изображение логической схемы. Связь между выходом z и входами х и у для данной логической схемы записывается в виде …

Спасибо за внимание !