ОСНОВЫ АЛЕГБРЫ ЛОГИКИ ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕЗЕНТАЦИЕЙ Возврат

ОСНОВЫ АЛЕГБРЫ ЛОГИКИ

ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕЗЕНТАЦИЕЙ Возврат к предыдущему слайду Переход к следующему слайду Подчёркнутое Гиперссылка слово Выход в содержание

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Что такое логика? - История изучения - Высказывания Алгебра логики - Действия над высказываниями - Приоритет выполнения операций - Законы алгебры логики Примеры решения задач Предикаты Заключение

ВЫСКАЗЫВАНИЯ Понятие высказывания является исходным понятием математической логики. Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само предложение заключается в фигурные скобки.

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Отрицание Дизъюнкция Конъюнкция Строгая дизъюнкция Действия над высказываниями Эквиваленция Импликация

ПРИОРИТЕТ ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ 4 1 3 2 5 1 Аν(В ~С) ∧ А → (ВνС) 1. Действия в скобках 2. Отрицание 3. Конъюнкция 4. Дизъюнкция 5. Импликация, эквиваленция, строгая дизъюнкция

ЗАКОНЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Коммутативность АνВ А ∧В Ассоциативность А ν (В ν С ) А ∧ В ∧ ) ( С Дистрибутивность А∧ ВνС ( ) А ν (В ∧ С ) Законы де Моргана АνВ ∧

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ 1. А = А 6. A ∧ (A ∧ A) = A 2. А ν А = А 7. L = I 3. А ∧ А = А 8. A ν L = A 4. А ν А = I 9. A ∧ L = A 5. A ν (A ν A) = I 10. A ∧ A = L I – тождественно-истинное высказывание L – тождественно-ложное высказывание

ОТРИЦАНИЕ Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А истинно и В истинно, когда А ложно. А И Л А Л И

ДИЗЪЮНКЦИЯ Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь в том случае, если оба высказывания А и В ложные. А и и л В и л и АνВ и и и л л л A ≡{Луна - спутник Земли} В ≡{Солнце- спутник Земли } АνВ ≡ {Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли}

ИМПЛИКАЦИЯ А В А→В и и л л л и и л Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь в том случае, когда высказывание А – истинное и В – ложное. л и A ≡ {Лето жаркое}, B ≡ {Зима будет холодной} А→В ≡ {Eсли лето жаркое, то зима будет холодной. }

КОНЪЮНКЦИЯ Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное лишь в том случае, если оба высказывания А и В истинные. A ≡{Наталья учится в институте} В ≡{Людмила учится в институте} А и и л В и л и А∧В и л л л А∧В ≡ {Наталья и Людмила учатся вместе в институте}

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ Эквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А~В, истинное когда А и В – оба истинные или оба ложные высказывания. A ≡{Убийство раскрыто}, B ≡{Есть свидетели} А и и л В и л и А~В и л л и Для того чтобы раскрыть убийство необходимо и достаточно найти свидетелей.

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ Строгой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А⊕В, истинное лишь в случаях, когда А – истинное и В – ложное высказывание или А – ложное и В – истинное высказывание. А ⊕ В ≡ {Сейчас Ксюша в Москве или Лондоне} А ≡ {Сейчас Ксюша в Москве} В ≡ {Сейчас Ксюша в Лондоне} А В А⊕В и и л и л и и л л л

Вы готовы Тогда, слушайте дети? загадку! Я не слышу!! Так точно, Да, капитан! Согласно инструкции я должен находиться на судне всегда, за исключением случаев, когда с судна выгружают груз, если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутствует, если не отсутствую и я. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне?

РАЗГАДАЛИ? ДАВАЙТЕ ПРОВЕРИМ Пусть А≡{Капитан присутствует на судне}, В≡{С судна выгружают груз}, С≡{Рулевой присутствует на судне}, тогда (В → А) и (B→ (A→C)) – истинные высказывания. Конъюнкция истинных высказываний истинна, т. е. (B→A)∧(B→ (A→C))=(Bv. A)(B→(Av. С))= (Bv. A)(Bv (Av. С))= Bv. A(Av. С)= Bv. Lv. AC= B→AC. Проанализировав полученное, выяснили, что рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз. Ответ: рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз.

ПРЕДИКАТЫ Утверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в верное высказывание при конкретном значении переменной, называется неопределенным высказыванием или предикатом. d A(х) ≡ {d=x+34}

Множеством истинности предиката Р(х), заданного на множестве М, называют множество таких значений х, при которых высказывание Р(х) истинно. A ≡{Город Х находится в Российской Федерации} -города Российской Федерации.

ПРЕДИКАТЫ Для предикатов характерны те же действия, что и для К примеру, система уравнений есть конъюнкция предикатов: высказываний, а именно: х-1=5; Р 1(х)=х-1=5; х =36; Р 2(х)=х =36; Конъюнкция х=6; Р 1(х) ∧Р 2(х)=6; х=-6; (х-1=5)∧ (х =36); Дизъюнкция х=6; (х=6) ∧((х=-6 )ν(х=6)); х=6 Импликация Ответ: {6} Эквиваленция и др. 2 2 2

КВАНТОРЫ Одним из способов получения высказываний из предикатов является навешивание кванторов. Для этого перед предикатом пишут кванторы – слова, описывающие его множество истинности. Е А Квантор всеобщности Квантор существования

КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ « ∃» Квантор существования — это символ, обозначающий единственное существование и читается как «существует» или «для некоторого» . Из предиката {Студент X РАНХи. ГС сдал экзамен математике на 5 баллов } получаются высказывание: {Найдется такой студент РАНХи. ГС, который сдаст экзамен по математике на 5 баллов}

КВАНТОР ВСЕОБЩНОСТИ «∀» Квантор всеобщности — это символ, обозначающий всеобщность и читается как «для любого» или «для всех» . Из предиката {Студент. X РАНХи. ГС сдал экзамен по математике на 5 баллов } получаются высказывание: {Все студенты РАНХи. ГС сдал экзамен по математике на 5 баллов}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, мы познакомились с основными понятиями алгебры логики, научились выполнять операции с высказываниями, определенными и неопределёнными. Надеемся, эта презентация поможет Вам окунуться в мир логики и абстрактного мышления.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА Шабунин М. И. Математика. Алгебра. Начала анализа. http: //ru. wikipedia. org