Основные теоремы о пределах Теорема 1 Функция не

Основные теоремы о пределах Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела. Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е. Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т. е. Следствие. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Основные теоремы о пределах Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т. е. Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т. е.

Замечательные пределы

Раскрытие неопределенностей I. 1. Делением числителя и знаменателя на наивысшую степень. 2. Правило Лопиталя. II. Сводится к неопределенности или в результате: 1. Приведения дроби к общему знаменателю. 2. Перенесения иррациональности в знаменатель. III. сводится к или по правилу:

Раскрытие неопределенностей IV. 1. числитель и знаменатель приравнять к нулю. 2. решить полученные уравнения. 3. числитель и знаменатель разложить на множители. 4. сократить на общий множитель. При наличии иррациональности: 1. Числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное данному. 2. Применить формулу 3. Числитель и знаменатель сократить на общий множитель.

Применение эквивалентных б. м. при раскрытии неопределенности Известно, что для малых х (х→ 0) имеет место: sin x ~ x tg x ~ x arcsin x ~ x arctg x ~ x ex-1 ~ x ln (1+x) ~ x ax-1 ~ xlna

Тема: Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции Определение 1. Функция (х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х0 (т. е. существует (х0)); 2) имеет конечный предел функции при х х0; 3) этот предел равен значению функции в этой точке , т. е.

Определение 2. Функция у = (х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций). Функция у = (х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Точки разрыва функции Точка х0, в которой функция (х) называется точкой разрыва. не является непрерывной Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х х0, не равные другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х0. Обозначим а) , в этом случае функция имеет скачок б) , но не равно значению функции в точке х0 , имеем устранимый разрыв.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.