ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1 2 3 4

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. 2. 3. 4. 5. Теорема Ферма. Теорема Ролля Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

Пьер Ферма (1601 – 1655) – фр. математик. Создатель аналитической геометрии и теории чисел. Труды по теории чисел, геометрии, алгебре, теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике. Вместе с Р. Декартом является основоположником аналитической геометрии.

Мишель Ролль (1652 – 1719) – фр. математик. Труды по алгебраическим уравнениям и математическому анализу. Долгое время был противником нового (дифференциального) исчисления и примкнул к нему уже на склоне лет. Критиковал анализ Декарта и исчисление бесконечно малых Лейбница. Рассматриваемая теорема была высказана им лишь для многочленов.

Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813)- фр. математик и механик. Труды по вариационному исчислению, где им разработаны основные понятия и методы; математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям, аналитической и небесной механике, сферической астрономии, картографии и т. д. Лопиталь Франсуа де Гийом (1661 -1704) – фр. математик. Автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению (1696). Создал курс аналитической геометрии конических сечений. Труды по геометрии и механике.

Вопрос 1. Теорема Ферма Пусть функция у = f(х) определена на интервале (а; b) и в некоторой точке х0 (а < х0 < b) этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная функции, то она равна нулю, т. е. f′(х0) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х0 параллельна оси Ох.

Замечание 1. Теорема неверна, если функцию у = f(х) рассматривать на отрезке [а; b]. Пример 1. Функция у = х рассматривается на отрезке [0; 1]. При этом f′(0) = f′(1) = 1 0.

2. Если в точке х0 функция у = f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение, то в этой точке производная f′(х0) может и не существовать. Пример 2.

Вопрос 2. Теорема Ролля Пусть функция у = f(х) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [а; b]; 2) дифференцируема на интервале (а; b); 3) f(а) = f(b). Тогда найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что f′(с) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции у = f(х), удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Если, в частности, f(а) = f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать коротко так: Между двумя нулями функции лежит хотя бы один ноль производной. Замечание Все условия теоремы Ролля являются существенными, и при невыполнении хотя бы одного из них заключение теоремы может оказаться неверным.

Пример 3.

Вопрос 3. Теорема Лагранжа Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема на интервале (а; b), то существует хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство (1)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа 1. f′(с) - угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х = с. 2. - угловой коэффициент секущей, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)).

Смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что на графике функции у = f(х), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа, найдется хотя бы точка, в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

Замечание Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля, так как если f(а) = f(b), то из равенства (1) следует f′(с) = 0. Из теоремы Лагранжа вытекают два следствия: Следствия 1. Если f′(x) = 0 в каждой точке интервала (а; b), то функция у = f(х) постоянна на этом интервале. 2. Если две функции имеют равные производные на некотором интервале, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Формула (1) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Применив формулу Лагранжа к отрезку [x; x+Δx], где Δx > 0, получим Мы получили другую форму записи формулы конечных приращений.

Вопрос 4. Теорема Коши Если функции f(х) и g(x) непрерывны на отрезке [а; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем g′(x) 0 для x (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b) такая, что выполняется равенство (2) Геометрически теорема Коши означает то же самое, что и теорема Лагранжа.

Замечание Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g(x) = x. Формула (2) называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши часто называют «теоремами о средних значениях» , т. к. под знаком производной фигурирует некоторое среднее значение независимой переменной, доставляющее и производной в некотором смысле среднее значение.

Вопрос 5. Правило Лопиталя Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей , который основан на применении производных. Рассмотрим отношение , где функции f(х) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, исключая, быть может, саму точку х0. Пусть далее эти функции одновременно являются бесконечно малыми ( 0) или бесконечно большими ( ) в точке х0.

Т. 5. 1. (правило Лопиталя) Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.

Замечание 1. Теорема 5. 1 справедлива и в том случае, когда x . 2. Если производные f′(х) и g′(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(х) и g(x), теорему 5. 1 можно применить еще раз:

Пример 4. Пример 5.