Основные свойства функций и их графики Функция

Основные свойства функций и их графики

Функция. Область определения. Область значений Пусть X и Y— два множества. Функция у=f(х) — это правило или закон f, по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число.

Если элементами множеств Х и У являются действительные числа, т. е. то функцию называют числовой функцией. Переменная x называется при этом аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной. Относительно величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости. – частное значение функции при

Область определения функции f(х) (D(f(х)) – множество X, т. е. всевозможные значения независимой переменной х. Область значений функции f(х) (E(f(х)) – множество, состоящее из всевозможных чисел f(х) при.

Пример 1) Область определения Область значений 2) Область определения Область значений . .

График функции Графиком функции является множество всех точек плоскости , для каждой из которых значение аргумента x является абсциссой, а значение функции y ‑ ординатой.

Способы задания функций одной переменной Задать функцию ‑ это значит указать множество ее определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции. Три основных способа задания функции: x -1 0 1 2 1. Табличный. y 1 0 1 4

2. Графический.

3. аналитический, который имеет три разновидности: А) явный способ задания ‑ с помощью одного или нескольких аналитических выра-жений. Например, Б) неявный, т. е. с помощью уравнения В) параметрический.

Свойства функций

Возрастание и убывание функций

Монотонные функции — возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие. Промежутки монотонности функции f(х) – непересекающиеся промежутки из , на каждом из которых функция f(х) монотонна.

Четность и нечетность функции

Пример 1) 2) - четная - нечетная

Периодичность функций Функция f(х) периодическая — существует такое число (период), что: 1) Если , то ; 2). Если Т – период f(х), то любое число – тоже период f(х). Основной период — наименьший из положительных периодов.

Нули функции Это значения аргумента x, при которых f(х)=0. Геометрически нули функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Промежутки знакопостоянства f(х) – промежутки из , на которых либо. Нули функции f(х) разбивают промежутки знакопостоянства. на ,

Экстремумы функции

Точки экстремума — точки минимума и максимума. Минимум f(х) — значение f(xmin). Максимум f(х) — значение f(хтах). Экстремумы f(х) — минимум и максимум f(х). Точки экстремума f(х) разбивают D(f) на промежутки монотонности f(x), т. е. промежутки возрастания или убывания функции.

Пример Точки х1 и х3 — точки максимума f(х). Точка х2 — точка минимума f(х).

Свойства функций одной переменной 1. Четность и нечетность функции. 2. Периодичность функции. 3. Монотонность функции. 4. Ограниченность функции.

Основные элементарные функции : 1) Степенная функция 2) Показательная функция 3) Логарифмическая функция 4) Тригонометрические функции 5) Обратные тригонометрические функции

Графики элементарных функций Степенная функция Линейная при Парабола при

Кубическая парабола при

Обратная пропорциональность

Функция

Показательная функция

Показательная функция у = ех, где е = 2, 71828 — число е, называется экспоненциальной, или экспонентой. у = ехр(х) — «экспонента от x» .

График у = ех

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий с применением действительных коэффициентов и образования сложной функции.

Некоторые элементарные функции: 1) линейная функция 2) квадратичная функция 3) многочлены с действительными коэффициентами (целые рациональные функции) 4) дробно-рациональные (рациональные дроби) – многочленов: функции отношение

5) иррациональные функции ‑ функции в которых используется операция извлечения корня. Некоторые неэлементарные функции: 1. 2. Дробная часть

Квадратичная функция Квадратичной функцией называется функция вида Область определения функции, т. е. все значения, которые может принимать х, – все действительные числа. Нули квадратичной функции – все значения х, при которых у=0, т. е. корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0.

График квадратичной функции Любую квадратичную функцию можно представить в виде

График функции парабола. Вершина параболы точка. Ось симметрии — прямая Область значений — интервал если или , если — — ,

Свойства функции и вид ее графика определяются значениями коэффициента а и дискриминанта D = b 2 – 4 ас.

• Пример. На рисунке приведен график изменения суточной температуры

Определите: a) максимальное и минимальное значение температуры; b) в какое время температура была равна нулю; c) временные промежутки, на которых температура была положительная; d) промежутки, на которых температура была отрицательная; e) наибольший промежуток времени, на котором температура не меняла своего знака; f) промежутки возрастания температуры; g) промежутки убывания температуры.