Основные правила дифференцирования Производные основных элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Производные основных элементарных функций

Логарифмическое дифференцирование Если требуется найти производную функции, представляющей собой произведение нескольких сомножителей, или дробь, числитель и знаменатель которой содержат по несколько сомножителей или функцию в степени, содержащей переменную, то представляется выгодным предварительно y=f(x) обе части равенства прологарифмировать по основанию е, а затем уже приступить к дифференцированию. Напомним основные свойства логарифмов:

О п р е д е л е н и е. Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции • Отсюда

Дифференцирование неявной функции

Дифференциал. Правила нахождения дифференциала

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ • Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. • Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т. е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. • Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x). • Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y'' или f''(x). • Итак, y'' = (y')'. • Например, если у = х5, то y'= 5 x 4, а y''= 20 x 4. • Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. • Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y''' или f'''(x). • Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))'. • Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.