ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ВВЕДЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ Число

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

ВВЕДЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ Число способов расположения n цифр в виде последовательности, то есть число перестановок, обозначают n! Три цифры 1, 2 и 3 можно расположить в виде последовательности уже шестью способами ( 3!=6 ): 123, 132, 213, 231, 312, 321

ВЕРОЯТНОСТЬ Пронумеруем буквы составляющие слово БАБУШКА: 1 А 2 А 3 Б 4 Б 5 К 6 У 7 Ш 7!=5040 способов перестановок Из общего числа случаев (5040) четыре случая благоприятствуют появлению интересующего нас события Слово БАБУШКА получается в четырех случаях перестановок: (3, 1, 4, 6, 7, 5, 2), (3, 2, 4, 6, 7, 5, 1), (4, 1, 3, 6, 7, 5, 2), (4, 2, 3, 6, 7, 5, 1) Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев называют вероятностью события.

РАВНОВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 Для подсчета вероятностей при бросании двух игральных костей приходится рассматривать 36 случаев, каждый из которых характеризуется определенным числом очков, выпавших на первом кубике, и определенным числом очков, выпавших на втором кубике: 1, 2 2, 2. . . 1, 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 5 2, 5 Эти 36 случаев равновозможны Вероятностью какого-либо события называется отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу равновозможных исходов. Вероятность появления суммы очков при бросании двух кубиков: Сумма Число благоприятству ющих случаев Вероятность 2 1 1/ 36 3 2 1/ 18 4 3 1/ 12 5 4 1/ 9 6 5 5/ 36 7 6 1/ 6 8 5 5/ 36 9 4 1/ 9 10 3 11 2 12 1 1/ 1/ 1/ 12 18 36 1, 6 2, 6

. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА Частотой какого-либо случайного события A в данной серии из n испытаний назовем отношение n. A/n, числа n. A тех испытаний, в которых событие A наступило, к общему их числу. Наличие у события A при определенных условиях вероятности, равной P(A), проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события A приблизительно равна P(A): Результаты по проверке симметричности монеты, полученные экспериментально несколькими учеными(nг – число выпадений герба в n испытаниях): Бюффон Морган Джевонс Романовский Пирсон Феллер n 4040 4092 20480 80640 24000 10000 nг/n 0. 507 0. 5005 0. 5068 0. 4923 0. 5005 0. 4979

. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА Простейшие свойства вероятности определяются свойствами частоты: 1) 0 n. A/n 1 2) если событие A появляется при каждом испытании, т. е. является достоверным, то n. A = n и n. A/n = 1; 3) если проведении n испытаний n. A раз осуществилось событие A и n. B раз осуществилось событие B, и при этом ни в одном из n испытаний события A и B не появились одновременно, то частота n. A B/n события, состоящего в появлении либо A, либо B, равна n. A B/n = n. A/n + n. B/n