Основные понятия теории вероятностей Вероятность случайного события – это количественная характеристика возможности наступления этого события
Теория вероятностей o – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий
История o o o 1494 г. итальянский математик Лука Пачиоли, решение задачи об игре в кости (верное решение не найдено) 1540 -е гг. итальянский математик Джерола мо Кардано, критика решения Пачиоли, но и предложенное им решение так же ошибочно 1654 г. задача решена в ходе переписки между французскими математиками Блезом Паскалем и Пьером Ферма, в процессе обсуждения сформулированы понятия «вероятность» и
История o o o 1713 г. трактат о теории вероятностей Якоба Бернулли (применение в страховании, статистике, математическом изучении наследственности) 1718 г. «Учение о случайностях» Абрахам де Муавр, английский математик французского происхождения (закон «нормального распределения» ) 1812 г. «Аналитическая теория вероятностей» Пьер-Симон Лаплас (классическое определение вероятности)
Научные школы o o Российская и советская – В. Я. Буняковский (1846 г. , первый русский учебник «Основания математической теории вероятностей» ), С. Н. Бернштейн (1917 г. , аксиоматическое построение теории вероятностей), П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров Англо-американская – У. С. Глоссет (Стьюдент), Р. Фишер, Э. Пирсон, Дж. Нейман,
История o o o В XX в. теория вероятностей превратилась в одну из самых быстроразвивающихся математических дисциплин Ее результаты и методы широко применяются во всех отраслях науки и техники, а также в управлении, промышленности, экономики и пр. Практические потребности приводят к появлению ее новых отраслей и разделов: n n Математическая статистика Теория массового обслуживания Теория информации Экономическое моделирование и др.
Области применения теории вероятностей и матстатистики o o o o o Все области естествознания и техники, а также Экономика Военное дело Метеорология и климатология Социология Психология Медицина Астрономия Литературоведение и др.
Случайное событие o o o В теории вероятностей изучаются модели экспериментов (опытов, испытаний), исход которых нельзя предсказать заранее (бросок монеты - что выпадет – орел или решка? , игральной кости – какое из чисел 1, 2. . 6 выпадет? и т. п. ) Результат эксперимента, который при проведении опыта может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием События обозначаются A, B, C…
Достоверное и невозможной событие o o o Событие называется достоверным, если проведении опыта оно обязательно произойдет (выпадение положительного числа очков при бросании кости) Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти проведении данного опыта (выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости) Достоверное событие обозначают буквой U, а невозможное - V
Множество элементарных событий o o - это полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента. Осуществление одного исхода исключает реализацию других, и результатом опыта всегда является один и только один элементарный исход Например, при бросании игральной кости непременно произойдет одно из элементарных событий e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, где через ei обозначено выпадение конкретного числа очков i. Эти события образуют множество элементарных событий
o o o Все исходы данного эксперимента могут быть представлены как подмножества Е. Пусть событие A= «выпадение четного числа очков» . Это событие произойдет, если произойдет одно из событий e 2, e 4, e 6. Событие A может быть представлено подмножеством {e 2, e 4, e 6}. множества E Событие В = «выпадение числа очков большее 3» может быть представлено подмножеством {e 4, e 5, e 6} множества E Событие, соответствующее пустому множеству - невозможное Событие, соответствующее всему множеству Е - достоверное
Благоприятные и тождественные события o o Если сравнивать события e 2 и А, то можно сказать, что e 2 влечет за собой А (если произошло e 2, то произошло и А). Говорят, что e 2 благоприятно для А и пишут Если и одновременно , то говорят, что события А и В совпадают (или тождественны) и пишут А=В
Операции над событиями Сумма событий А и В – это событие А+В (А ИЛИ В), состоящее в том, что произошло хотя бы одно из этих событий (или оба). Сумме событий соответствует объединение множеств Например, A= «выпадение четного числа очков» , В = «выпадение числа очков большее 3» А+В={e 2, e 4, e 6}+{e 4, e 5, e 6}={e 2, e 4, e 5, e 6} o
Операции над событиями Произведением событий А и В называется событие АВ (А И В), состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств. Например, для предыдущих событий АВ={e 2, e 4, e 6}{e 4, e 5, e 6}={e 4, e 6} o События А и В несовместны, если AB=V, т. е. события не могут произойти одновременно o
Операции над событиями Разностью событий А и В называется событие А-В (А НО НЕ В), состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Разности событий соответствует разность множеств. А-В={e 2, e 4, e 6}-{e 4, e 5, e 6}={e 2} _ o Событие А= Е-А называется событием противоположным А. Оно состоит в том, что событие А не происходит. _ А= {e 1, e 3, e 5} o
Полная группа событий o o o Если сумма событий А 1, А 2…. Аn– достоверное событие, т. е. А 1+А 2+…+Аn=U, то события А 1, А 2…. Аn образуют полную группу событий Если никакие два события из А 1, А 2…. Аn не могут произойти одновременно, т. е. Аi. Аj =V при i≠j, то события А 1, А 2…. Аn попарно несовместны Если А 1, А 2…. Аn во-первых, образуют полную группу, во-вторых, попарно несовместны, то они образуют полную группу попарно несовместных событий
Вероятность события. Классическое определение. o o Вероятность случайного события – это количественная характеристика возможности наступления этого события Пусть n – число всех элементарных исходов опыта, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, а m – число тех из них, которые благоприятны событию А. Тогда вероятностью события А называют число
Примеры o o В рассмотренном выше примере с броском кости Р(ei)=1/6 поскольку каждому ei благоприятен только один исход опыта, а событию А = «выпадение четного числа очков» благоприятно три исхода, поэтому Р(А)=3/6=1/2 При бросании монеты вероятности выпадения орла = вероятности выпадения решки = 1/2
Статистическое определение вероятности o Пусть проводится некоторый опыт, в результате которого может наступить событие A. Предположим, этот опыт проведен N раз и при этом событие A появилось ровно M раз. Тогда число Называется статистической вероятностью (или относительной частотой) события A в
Пример o Рассмотрим события – рождение мальчика или рождение девочки. Кажется, что вероятности этих событий равны 0, 5. Но статистика рождений не вполне согласуется с нашим «кажется» . В действительности мальчиков рождается больше, чем девочек – примерно 518 мальчиков на каждую тысячу детей. Значит статистическая вероятность рождения мальчика равна 0, 518
Свойства вероятностей 1. 2. 3. 4. Вероятность достоверного события равна 1 P(U)=1 Вероятность невозможного события равна 0 P(V)=0 Вероятность любого события А – всегда положительное число, меньшее 1 Вероятность события,
Самостоятельно o Задачи 21 -35, стр. 65
Теорема о сумме двух событий Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного осуществления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) o Пример. Бросаем две игральные кости. Вычислим вероятность появления хотя бы одной шестерки. (на первой или на второй кости выпадет шестерка) Пусть А= «выпадение шестерки на первой кости» В= «выпадение шестерки на второй кости» Требуется вычислить Р(А+В). Р(А)=1/6, P(B)=1/6, P(AB)=1/36 o
Теорема о сумме попарно несовместных событий o Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Пример. Бросаем одну кость. Найти вероятность того, что ней выпадет двойка или единица. Пусть А= «выпадение единицы» В= «выпадение двойки» . Требуется вычислить Р(А+В). Р(А)=1/6, P(B)=1/6, P(A+B)=1/6+1/6=1/3 o
Условные вероятности o o Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А|В). Условная вероятность возникает в ситуации, когда вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В.
Пример Из урны, в которой находится 10 белых и 5 черных шаров вынимают один за другим два шара. Рассмотрим события В= «первый шар белый» , А= «второй шар белый» Понятно, что Р(В)=2/3. Как вычислить Р(А)? Если событие В произошло, то среди оставшихся 14 шаров только 9 белых, поэтому Р(А)=9/14. Если же событие В не произошло, т. е. первый шар был черным, то среди 14 оставшихся в урне шаров будет 10 белых и Р(А)=10/14=5/7. Таким образом, вероятность события А зависит от того, произошло или нет событие В т. е. вероятность А - условная o
Теорема о произведении двух событий o Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло Р(АВ)=Р(В)Р(А|В)=P(А)P(B|A)
Пример o o o Из колоды в 36 карт наугад вынимаем 2 карты. Вычисли вероятность того, что вынуты 2 дамы. Обозначим события А= «первая карта - дама» , В= «вторая карта - дама» . Мы хотим вычислить Р(АВ). Поскольку в колоде 4 дамы, то Р(А)=4/36. Если одна дама из колоды уже вынута, то вероятность того, что вторая карта тоже дама равна Р(В|А)=3/35. Согласно теореме P(AB)=P(A)P(B|A)=4/36 * 3/35= =1/105
Теорема о произведении двух независимых событий o Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Пример o o o Бросаем две монеты. Какова вероятность, что выпадет два орла. Обозначим А= «на первой монете орел» B= «на второй монете орел» P(A)=1/2, P(B)=1/2 Очевидно, что события А и В совместны и независимы, поэтому Р(АВ)=Р(А)Р(В)=1/2*1/2=1/4
Формула полной вероятности o o Следствием обеих основных теорем (сложения и умножения) является формула полной вероятности Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из событий В 1, В 2…. Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий. Если А произошло с одним из событий В 1, В 2…. Вn, значит произошло одно из несовместных событий. АВ 1, АВ 2…. АВn Таким образом, А может быть представлено в виде совокупности событий АВ 1, или АВ 2…. или АВn, а это означает, что А= АВ 1+АВ 2+. . . +АВn
Формула полной вероятности o o Согласно теореме о сумме попарно несовместных событий Р(А)= Р(АВ 1)+Р(АВ 2)+. . . +Р(АВn) По теореме о произведении двух событий Р(АВn)=Р(В n)Р(А|В n) Следовательно Р(А)= Р(В 1)Р(А|В 1)+Р(В 2)Р(А|В 2)+. . . +Р(Вn)Р(А|Вn) Получили формулу полной вероятности. События В 1, В 2…. Вn в этой формуле называют гипотезами
Формула Байеса o o Если в выражении для условной вероятности Заменим вероятность Р(А) по формуле полной вероятности, то получим формулу Байеса
Формула Байеса o o Эта формула применяется для вычисления условной вероятности гипотезы В 1 после испытания, при котором произошло событие. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятых до испытания (априорные), по результатам уже проведенного испытания.
пример o o o Из 10 студентов, пришедших на экзамен по математике Трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не подготовился. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовившиеся – на 16, удовлетворительно – на 10, а кто совсем не готовился – на 5. Каждый студент получил билет, в котором три вопроса. Приглашенный первым студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность, что он отлично
Решение Обозначим события А= «приглашенный студент ответил на все три вопроса» В 1= «приглашен студент, подготовившийся отлично» В 2 = «приглашен студент, подготовившийся хорошо» В 3 = «приглашен студент, подготовившийся удовлетворительно» В 4 = «приглашен студент, который к экзамену не готовился» o
Согласно условию задачи Р(В 1)= 0, 3; Р(В 2)= 0, 4; Р(В 3)= 0, 2; Р(В 4)= 0, 1 o Кроме того, Р(А|В 1)= 1 Р(A|В 2)= (16/20)*(15/19)*(14/18)=0, 491 Р(A|В 3)= (10/20)*(9/19)*(8/18)=0, 105 Р(В 4)= (5/20)*(4/19)*(3/18)=0, 009 Следует найти Р(В 1|A). По формуле Байеса o
Самостоятельно o Задачи 36 -64, стр. 65 -68
Скачать презентацию Основные понятия теории вероятностей Вероятность случайного события
8 теория вероятностей.ppt