Скачать презентацию Основные понятия теории вероятностей Понятие опыт Определение Скачать презентацию Основные понятия теории вероятностей Понятие опыт Определение

теория вероятностей.pptx

  • Количество слайдов: 31

Основные понятия теории вероятностей Основные понятия теории вероятностей

Понятие опыт Определение. Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что Понятие опыт Определение. Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что опыт может быть повторен сколько угодно раз. Пример 1. Бросание игрального кубика. Опыт- бросок. Комплекс условий- наличие кубика и игроков.

Понятие события Определение. Пусть имеется некоторый опыт. Событие, связанное с этим опытом, называется любой Понятие события Определение. Пусть имеется некоторый опыт. Событие, связанное с этим опытом, называется любой его исход. При этом событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться в данном опыте. Пример 1. Опыт-продажа подержанных автомобилей. Случайное событие- продажа 3 -х летнего автомобиля за 0. 5 цены. Это событие может появиться, а может и не появиться при повторении опыта. Пример 2. Опыт-бросание игрального кубика. События: A: (Выпадение четного числа) B: (Выпадение шестерки)

Типы событий СОБЫТИЕ ДОСТОВЕРНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ СЛУЧАЙНОЕ Типы событий СОБЫТИЕ ДОСТОВЕРНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ СЛУЧАЙНОЕ

Типы событий ДОСТОВЕРНОЕ Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. Типы событий ДОСТОВЕРНОЕ Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. СЛУЧАЙНОЕ Случайным называют событие которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. НЕВОЗМОЖНОЕ Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Примеры событий достоверные Извлечение наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки Примеры событий достоверные Извлечение наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина. случайные Если в коробке находятся одновременно таблетки аспирина и анальгина, то при однократном извлечении можно достать как лекарственный препарат аспирин, так и анальгин. Поэтому событие «при изъятии пластины с таблетками достали аспирин» – случайное. невозможные Извлечение упаковки аспирина из ящика, содержащего исключительно таблетки анальгина.

Вероятностная шкала • Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно Вероятностная шкала • Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов - тем левее. ст ов ер ны Вероятность: 0 0, 5 1 До Случайные Не События: во зм ож ны е е

1. P(u) = 1 (u – достоверное событие); 2. P(v) = 0 (v – 1. P(u) = 1 (u – достоверное событие); 2. P(v) = 0 (v – невозможное событие); 3. 0 P(A) 1.

Исход опыта, в котором наблюдается интересующее нас событие, называется благоприятствующим этому событию (или просто Исход опыта, в котором наблюдается интересующее нас событие, называется благоприятствующим этому событию (или просто благоприятным исходом). Исходы называются равновозможными, если есть основания считать, что ни один из них не является более возможным, чем другие. Пример 1 Бросание монеты. Испытание имеет два возможных исхода – выпадение «герба» или «решки» . Пример 2 Бросание игральной кости. Испытание имеет следующие возможные исходы – выпадение « 1» , « 2» , « 3» , « 4» , « 5» , « 6» . Случайные события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. События Ak (k = 1, 2, . . . , n) образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и при испытании неизбежно произойдет одно из этих событий.

Статистическое определение вероятности. Решение задач. Статистическое определение вероятности. Решение задач.

Частота случайного события. Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов Частота случайного события. Абсолютной частотой случайного события А в серии из N случайных опытов называется число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.

Частота случайного события. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к Частота случайного события. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов: где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NA случаях.

Примеры Пример 1. Наблюдения показывают, что 1. в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 Примеры Пример 1. Наблюдения показывают, что 1. в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Ответ: 0, 515

Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0, Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0, 85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Решение. Ответ: 102 попадания.

Классическое определение вероятности Вероятность – это мера объективной возможности наступления случайного события Вероятность случайного Классическое определение вероятности Вероятность – это мера объективной возможности наступления случайного события Вероятность случайного события A определяется по формуле: где m – число благоприятных исходов события; n – общее число возможных исходов. Вероятность достоверного события равна 1 (так как m = n). Вероятность невозможного события равна 0 (так как m = 0). Вероятность любого события: Противоположным событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. Вероятность противоположного события можно определить из формулы: Два противоположных события образуют полную группу событий.

Пример 1 Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз Пример 1 Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб» . 1 -е бросание герб решка герб решка Решение 2 -е бросание решка Событие А – при бросании монеты хотя бы один раз появится «герб» . Пример 2 Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа. Решение ( « 2» , « 4» , « 6» ), Событие А – выпадение на игральной кости четного числа. ( « 1» , « 2» , « 3» , « 4» , « 5» , « 6» ). Вероятность выпадения нечетного числа:

ЭКСПЕРИМЕНТ Бросаем монетку Вытягиваем экзаменационный билет Бросаем кубик ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ЭКСПЕРИМЕНТА (n) СОБЫТИЕ ЭКСПЕРИМЕНТ Бросаем монетку Вытягиваем экзаменационный билет Бросаем кубик ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ЭКСПЕРИМЕНТА (n) СОБЫТИЕ А ЧИСЛО ИСХОДОВ, БЛАГОПРИЯТНЫХ ДЛЯ ЭТОГО СОБЫТИЯ (m) 2 Выпал «орел» 1 24 Вытянули билет № 5 1 6 На кубике выпало четное число 3 ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ А Р(А)=m/n

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие : Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Теорема умножения (для независимых событий) • Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и Теорема умножения (для независимых событий) • Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий) • Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий) • Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Задача 1. • Для получения медицинской книжки Иванову И. И. требуется пройти 7 врачей. Задача 1. • Для получения медицинской книжки Иванову И. И. требуется пройти 7 врачей. Определить вероятность того, что Иванов И. И. в определенный момент времени находится на приеме у окулиста или у невропатолога. • Решение. Описанные в задаче события (первое событие А состоит в попадании на прием к окулисту, второе событие В – к невропатологу) являются несовместными, а значит для решения задачи используем теорему сложения для несовместных событий.

• Пример 2. Из полной колоды карт (52 шт. ) одновременно вынимают четыре • Пример 2. Из полной колоды карт (52 шт. ) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта. • Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом надо определить вероятность события С = А + В.

• Кроме того, события А и В – совместны, т. е. появление одного • Кроме того, события А и В – совместны, т. е. появление одного из них не исключает появления другого. • Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт. • При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - .

• Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни • Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна • Тогда

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. • Пусть в результате n независимых испытаний, проведенных в Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. • Пусть в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие с вероятностью .

• Если в результате n опытов событие А наступает ровно т раз, то • Если в результате n опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные n-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле:

• Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: • Применяя теорему сложения вероятностей несовместных • Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: • Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли:

• Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна • Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0, 4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз. • Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий. • Т. к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно n раз.

• В случае пяти попаданий из пяти возможных: • Четыре попадания из пяти • В случае пяти попаданий из пяти возможных: • Четыре попадания из пяти выстрелов: • Три попадания из пяти: • Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов: