Основные понятия Теории вероятностей Определения и примеры

Основные понятия «Теории вероятностей» Определения и примеры

Теория и практика Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т. е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали.

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. 3

Теория и практика Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала "орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что она "неправильная", возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести

Математические модели математическая модель "монета": На выпадение "орла" или "решки " имеет одинаковую вероятность. заре зарождения теории вероятностей были скептики – исследователи, сомневавшиеся в этом вполне очевидном для нас факте и очень много раз подбрасывали монету, но всегда убеждались, что "орел" выпадает в половине случаев. Статистика

Математические модели математическая модель «игральная кость» : выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность.

События и испытания l Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. l Каждое осуществление этих условий называют испытанием Примеры

Вероятность случайного события Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом. Это число называется вероятностью случайного события. Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события

События могут быть Достоверные Невозможные Случайные Несовместные Независимые Противоположные

Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное: а) летних каникул не будет; б) бутерброд упадет маслом вниз; в) учебный год когда-нибудь закончится.

Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное. Событие состоит в следующем: а) их дни рождения не совпадают; б) их дни рождения совпадают; в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля; г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня); д) дни рождения в этом году.

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. События образующие полную группу называют элементарными. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. 26

Классическое определение вероятности Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n 27

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий З а д а ч а № 1. Бросаются два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Решение.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех гимнасток. n=50 Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50 -(24+13)=13 31

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех насосов. n=1400 Соответствует количеству исправных насосов m=1400 -14=1386 32

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во всех событий группы: n=? К-во благоприятных событий: m=? Соответствует количеству всех сумок. n=190+8 Соответствует количеству качественных сумок. m=190 33

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Опыт: выпадают три игральне кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 331 313 133 223 511 232 151 322 115 412 421 124 К-во всех событий группы n=? 1 -я кость - 6 вариантов 2 -я кость - 6 вариантов 3 -я кость - 6 вариантов 142 214 241 34

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во всех событий группы n=? К-во благоприятных событий m=? m=1 1 -й раз - 2 варианта 2 -й раз - 2 варианта 3 -й раз - 2 варианта 4 -й раз - 2 варианта Четыре раза выпала решка. 35

В урне 9 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным? Решение: Количество всех возможных результатов n=3+9=12. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=3. Ответ: 0, 25

Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: Авыпало 1 очко; В- выпало 2 очка? Решение: Количество всех возможных результатов n=6 (все грани). а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1: б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1: Ответ: и

Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: Авыпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по крайней мере на одной кости? Решение: I II 1 2 3 4 5 6 Получили, что возможно n=36 результатов испытаний

Для события А получаем: I II 1 2 3 4 5 6 m=10: 1 2 3 4 5 6

Для события В получаем: I II 1 2 3 4 5 6 m=11: Ответ: 1 2 3 4 5 6

Две монеты брошены одновременно. Какова вероятность события: А- выпадет одновременно два герба? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? ГГ, ГР, РГ, РР Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас интересующий результат возможен только один раз m=1, поэтому Ответ: 0, 25

Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра? Решение: Сколько всего цифр? n=10 Вы забыли только последнюю цифру, значит m=? Тогда, Ответ: 0, 1

Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м» ? Решение: n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам буквы «м» . Ответ: 0, 2

В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый. Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно друг за другом. Какова вероятность того, что в результате получится последовательность: красный, чёрный, белый? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? n=6 Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый кубик, тогда ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ. Ответ:

В мешке 50 деталей, из них 5 окрашено. Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что данная деталь окрашена. Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть деталей и окрашенных, и неокрашенных? n=50 Из них можно вынуть только 5 окрашенных деталей, поэтому m=5 Таким образом, получаем: Ответ: 0, 1

Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; Dпоявление зелёного шара? Решение: Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20. Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9. Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7. Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0. Ответ:

Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зелёной? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта: n=6 Как найти m? Для этого нужно посчитать грани кубика, интересующего нас цвета, т. е. m=3 Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зеленой будет равна: Ответ: 0, 5

Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) чётное; б) нечётное; в) однозначное; г) двухзначное.

Решение: Общее количество опытов – это количество карточек, которые будут сделаны по условию задачи: n=9 а) Чётные числа от 1 до 9 – 2, 4, 6, 8 m=4 Тогда, б) Нечётные числа − 1, 3, 5, 7, 9, m=5 Тогда, в) Все числа от1 до 9 однозначные, т. к. состоят из одного знака m=9, тогда, г) Соответственно, двухзначных чисел среди них нет и m=0 и Ответ:

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий Задача Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль. Решение (1 способ) Решение (2 способ) Решение (3 способ)

Условная вероятность Условной вероятностью события В при условии А называют отношение Вероятность события В в новых условиях: когда уже известно, что событие А произошло.

Условная вероятность Формула вычисления вероятности события В при условии, что произошло событие А, но могло иметь место еще и событие С. Пример использования такой обобщенной формулы рассмотрен далее.

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий Задача Пусть в некотором классе 25 учеников, из них 2 "отличника", 12 "твердых хорошистов", 9 "троечников", а остальные 2 – "отстающие". Проверяя контрольную работу, учитель поставил 5 за одну работу, которая оказалась неподписанной. Прав ли он, считая, что она принадлежит "отличнику", если вероятность получения пятерки соответственно равна: Отличник 0, 9 Хорошист 0, 7 Троечник 0, 3 Отстающий 0, 1? Решение.