Скачать презентацию Основные понятия Определение Пусть имеется n переменных величин Скачать презентацию Основные понятия Определение Пусть имеется n переменных величин

13 вопрос.ppt

  • Количество слайдов: 29

Основные понятия Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений = Основные понятия Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений = (x 1, x 2, …, xn) из некоторого множества Х Rn соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда на множестве Х задана функция нескольких переменных z = f(x 1, x 2, …, xn). Переменные х1, х2, …, хn называются независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной, символ f означает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения функции (это подмножество n -мерного пространства Rn). Примеры: 1. Множество Х называется областью определения функции (это подмножество n -мерного пространства Rn). Примеры: 1. Линейная функция 2. Квадратическая функция 3. Функция Кобба–Дугласа

Функцию двух переменных будем обозначать z = f(x, y). Её область определения Х есть Функцию двух переменных будем обозначать z = f(x, y). Её область определения Х есть подмно -жество координатной плоскости Оху. Окрестностью точки М 0(х0, у0) Х называется круг, содержащий точку М 0.

Графиком функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, Графиком функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = f(x, y). Графиком функции двух переменных z = f(x, y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек на Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Примеры: Параллели и меридианы на глобусе – это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм – линии уровня температуры. Линии уровня позволяют представить график данной функции.

Предел и непрерывность Определение. Число А называется пределом функции z = f(x, y) при Предел и непрерывность Определение. Число А называется пределом функции z = f(x, y) при х х0 и у у0 (или в точке (х0, у0)), если для > 0 (зависящее от , = ( )), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние меньшее, чем (т. е. при 0 < ), выполняется неравенство | f(x, y) – A | < . Обозначение:

Определение. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (хо, уо), если она: Определение. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (хо, уо), если она: 1) определена в точке (хо, уо); 2) имеет конечный предел при х хо и у уо; 3) этот предел равен значению функции в точке (хо, уо), т. е. Геометрический смысл непрерывности: график функции y = f(x, y) представляет собой сплошную поверхность.

Частные производные Придадим аргументу х приращение х, аргументу у – приращение у. Тогда функция Частные производные Придадим аргументу х приращение х, аргументу у – приращение у. Тогда функция z получит приращение z = f(x + x, y + y) – f(x, y). Величина z называется полным приращением функции z в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения соответственно xz = f(x + x, y) – f(x, y) и yz = f(x, y + y) – f(x, y) называются частными приращениями.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Обозначается:

По определению По определению

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Частная производная z x численно равна тангенсу Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Частная производная z x численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f(x, y) плоскостью y = const. Аналогично частная производная z y численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью x = const. Запомнить: Для нахождения производной z x надо считать постоянной у, а для нахождения z y – переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных: dz = z x x + z y y. или

В общем случае для функции n переменных В общем случае для функции n переменных

Определение. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее Определение. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде z = dz + x + y, где dz – дифференциал функции, = ( х, у) – бесконечно малые при х 0, у 0. Определение. Дифференциал функции нескольких переменных представляет главную, линейную относительно приращений х и у часть полного приращения.

В общем случае для функции n переменных Замечание: Тогда В общем случае для функции n переменных Замечание: Тогда

Теорема. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке N 0(x 0, y 0, z Теорема. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке N 0(x 0, y 0, z 0), где z 0 = f(x 0, y 0), определяется уравнением: Доказательство:

Геометрический смысл: Полное приращение функции z представляет приращение аппликаты поверхности z = f(x, y), Геометрический смысл: Полное приращение функции z представляет приращение аппликаты поверхности z = f(x, y), дифференциал функции dz есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в данной точке, тогда переменные х и у получают приращения х и у.

Теорема. Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Теорема (достаточное Теорема. Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если частные производные функции z`у(x, y) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f(x, y) дифференцируемы в этой точке.

Производственная функция Кобба–Дугласа Q – объем выпуска продукции K – затраты капитала L – Производственная функция Кобба–Дугласа Q – объем выпуска продукции K – затраты капитала L – затраты трудовых ресурсов A > 0 – параметр производительности конкретно взятой технологии 0 < < 1 – доля капитала в доходе Найти скорость изменения продукции при изменении одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L.

Каков смысл показателей степени в функции Кобба–Дугласа? Показатели степени представляют собой коэффициенты эластичности по Каков смысл показателей степени в функции Кобба–Дугласа? Показатели степени представляют собой коэффициенты эластичности по каждому аргументу.

Производная по направлению. Градиент Пусть z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки Производная по направлению. Градиент Пусть z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки М(х, у), l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где соs , cos – направляющие косинусы вектора. При перемещении в данном направлении l точки М(х, у) в точку М 1(х + х, у + у) функция z получит приращение lz = = f(x + x, y + y) – f(x, y) – приращение функции z в данном направлении.

Определение. Производной функции по направлению называется Определение. Производной функции по направлению называется

Если ММ 1 = l, то x = l cos ; y = l Если ММ 1 = l, то x = l cos ; y = l cos lz = f(x + l cos ; y + l cos ) - f(x, y). Определение. Градиентом grad z функции z = f(x, y) называется вектор с координатами (z`x , z`y). Рассмотрим скалярное произведение векторов grad z = (z`x , z`y) и. Получим

Производная по направлению есть скалярное произведение grad z и единичного вектора, задающего направление l. Производная по направлению есть скалярное произведение grad z и единичного вектора, задающего направление l. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z = f(x, y) и пусть в точке М(х0, Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z = f(x, y) и пусть в точке М(х0, у0) величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Дифференциалы высших порядков Дифференциалы высших порядков