Основные понятия Определение Пусть имеется n переменных величин

Основные понятия Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений = (x 1, x 2, …, xn) из некоторого множества Х Rn соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда на множестве Х задана функция нескольких переменных z = f(x 1, x 2, …, xn). Переменные х1, х2, …, хn называются независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной, символ f означает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения функции (это подмножество n -мерного пространства Rn). Примеры: 1. Линейная функция 2. Квадратическая функция 3. Функция Кобба–Дугласа

Функцию двух переменных будем обозначать z = f(x, y). Её область определения Х есть подмно -жество координатной плоскости Оху. Окрестностью точки М 0(х0, у0) Х называется круг, содержащий точку М 0.

Графиком функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = f(x, y). Графиком функции двух переменных z = f(x, y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Примеры: Параллели и меридианы на глобусе – это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм – линии уровня температуры. Линии уровня позволяют представить график данной функции.

Предел и непрерывность Определение. Число А называется пределом функции z = f(x, y) при х х0 и у у0 (или в точке (х0, у0)), если для > 0 (зависящее от , = ( )), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние меньшее, чем (т. е. при 0 < ), выполняется неравенство | f(x, y) – A | < . Обозначение:

Определение. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (хо, уо), если она: 1) определена в точке (хо, уо); 2) имеет конечный предел при х хо и у уо; 3) этот предел равен значению функции в точке (хо, уо), т. е. Геометрический смысл непрерывности: график функции y = f(x, y) представляет собой сплошную поверхность.

Частные производные Придадим аргументу х приращение х, аргументу у – приращение у. Тогда функция z получит приращение z = f(x + x, y + y) – f(x, y). Величина z называется полным приращением функции z в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения соответственно xz = f(x + x, y) – f(x, y) и yz = f(x, y + y) – f(x, y) называются частными приращениями.

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Обозначается:

По определению

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Частная производная z x численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f(x, y) плоскостью y = const. Аналогично частная производная z y численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью x = const. Запомнить: Для нахождения производной z x надо считать постоянной у, а для нахождения z y – переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных: dz = z x x + z y y. или

В общем случае для функции n переменных

Определение. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде z = dz + x + y, где dz – дифференциал функции, = ( х, у) – бесконечно малые при х 0, у 0. Определение. Дифференциал функции нескольких переменных представляет главную, линейную относительно приращений х и у часть полного приращения.

В общем случае для функции n переменных Замечание: Тогда

Теорема. Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке N 0(x 0, y 0, z 0), где z 0 = f(x 0, y 0), определяется уравнением: Доказательство:

Геометрический смысл: Полное приращение функции z представляет приращение аппликаты поверхности z = f(x, y), дифференциал функции dz есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в данной точке, тогда переменные х и у получают приращения х и у.

Теорема. Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если частные производные функции z`у(x, y) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f(x, y) дифференцируемы в этой точке.

Производственная функция Кобба–Дугласа Q – объем выпуска продукции K – затраты капитала L – затраты трудовых ресурсов A > 0 – параметр производительности конкретно взятой технологии 0 < < 1 – доля капитала в доходе Найти скорость изменения продукции при изменении одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L.

Каков смысл показателей степени в функции Кобба–Дугласа? Показатели степени представляют собой коэффициенты эластичности по каждому аргументу.

Производная по направлению. Градиент Пусть z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки М(х, у), l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где соs , cos – направляющие косинусы вектора. При перемещении в данном направлении l точки М(х, у) в точку М 1(х + х, у + у) функция z получит приращение lz = = f(x + x, y + y) – f(x, y) – приращение функции z в данном направлении.

Определение. Производной функции по направлению называется

Если ММ 1 = l, то x = l cos ; y = l cos lz = f(x + l cos ; y + l cos ) - f(x, y). Определение. Градиентом grad z функции z = f(x, y) называется вектор с координатами (z`x , z`y). Рассмотрим скалярное произведение векторов grad z = (z`x , z`y) и. Получим

Производная по направлению есть скалярное произведение grad z и единичного вектора, задающего направление l. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z = f(x, y) и пусть в точке М(х0, у0) величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Дифференциалы высших порядков