Скачать презентацию ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Случайные величины Скачать презентацию ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Случайные величины

LekcijaNo5_Osnovnye_ponjatija_MS_-2013.pptx

  • Количество слайдов: 54

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Случайные величины Случайные величины

Классическое определение вероятности. l Вероятность случайного события равна отношению числа исходов m, благоприятствующих событию Классическое определение вероятности. l Вероятность случайного события равна отношению числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных, исходов n.

Статистическое определение вероятности: l Вероятностью события А называется предел отношения числа испытаний m в Статистическое определение вероятности: l Вероятностью события А называется предел отношения числа испытаний m в которых событие А произошло к общему числу испытаний n, при условии что общее число испытаний n стремится к бесконечности.

Пример таблицы статистического обследования Пример таблицы статистического обследования

Понятие случайной величины Случайная величина - это количественный признак (параметр, переменная), который принимает численные Понятие случайной величины Случайная величина - это количественный признак (параметр, переменная), который принимает численные значения случайным образом из всех возможных значений.

Дискретные и непрерывные случайные величины Случайная величина называется дискретной, если она принимает строго определенные Дискретные и непрерывные случайные величины Случайная величина называется дискретной, если она принимает строго определенные значения и других значений между ними быть не может.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение в заданном интервале. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение в заданном интервале.

Генеральная и выборочная совокупности l Совокупность всех значений какогото признака объектов называется генеральной совокупностью. Генеральная и выборочная совокупности l Совокупность всех значений какогото признака объектов называется генеральной совокупностью. l Выборка – часть генеральной совокупности, взятая для исследования.

Выборка, отражающая свойства генеральной совокупности называется представительной или репрезентативной. Выборка, отражающая свойства генеральной совокупности называется представительной или репрезентативной.

Распределение случайной величины Описание совокупности значений случайной величины с указанием вероятности каждого значения называется Распределение случайной величины Описание совокупности значений случайной величины с указанием вероятности каждого значения называется законом распределения этой величины.

Способы задания закона распределения случайной величины l Табличный (в виде таблицы с указанием значений Способы задания закона распределения случайной величины l Табличный (в виде таблицы с указанием значений случайной величины и их вероятностей или частот. На практике такие таблицы называют вариационные ряды. )

l Графический (в виде графика отражающего закон распределения случайной величины. На практике строят графики l Графический (в виде графика отражающего закон распределения случайной величины. На практике строят графики – Полигон и Гистограмма).

l Аналитический (в виде формул или специальных параметров, отражающих закон распределения случайной величины. На l Аналитический (в виде формул или специальных параметров, отражающих закон распределения случайной величины. На практике для симметричных распределений определяют величины: математическое ожидание и дисперсия.

Вариационные ряды В результате наблюдений или экспериментов получают данные, которые представляют собой множество расположенных Вариационные ряды В результате наблюдений или экспериментов получают данные, которые представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Такой ряд данных обычно называют статистическим рядом.

Статистический ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания называется вариационным рядом. Статистический ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания называется вариационным рядом.

l Виды вариационных рядов: l 1. Сгруппированный дискретный вариационный ряд l 2. Сгруппированный интервальный l Виды вариационных рядов: l 1. Сгруппированный дискретный вариационный ряд l 2. Сгруппированный интервальный вариационный ряд

Полигон Полигон

Гистограмма Гистограмма

Гистограмма и полигон грубо задают распределение случайной величины. Гистограмма и полигон могут быть построены Гистограмма и полигон грубо задают распределение случайной величины. Гистограмма и полигон могут быть построены и для дискретной и для непрерывной случайной величины. На практике чаще для дискретной случайной величины строят полигон, а для непрерывной – гистограмму.

Плотность вероятности плотность вероятности f – это параметр, показывающий, какая вероятность приходится на единицу Плотность вероятности плотность вероятности f – это параметр, показывающий, какая вероятность приходится на единицу масштаба измерения любой случайной величины, и который позволяет всегда корректно характеризовать распределение этой случайной величины.

Нормальное распределение случайной величины. Числовые характеристики нормального распределения Нормальное распределение случайной величины. Числовые характеристики нормального распределения

Если вид кривой описывается формулой , то распределение случайной величины называется нормальным. Данную функцию Если вид кривой описывается формулой , то распределение случайной величины называется нормальным. Данную функцию называют функцией Гаусса. Графиком нормального распределения является колокол симметричный относительно центра распределения.

Нормальное распределение имеет два признака: l 1. Чем дальше от центра, тем ниже опускаются Нормальное распределение имеет два признака: l 1. Чем дальше от центра, тем ниже опускаются ветви графика, что свидетельствует о снижении вероятности появления случайной величины, при сильном отклонении ее от центрального значения. l 2. График симметричен относительно центра, что говорит о равных вероятностях появления значений случайной величины как слева от центра, так и справа от него.

l В формулу Гаусса входят две величины, которые являются числовыми характеристиками случайной величины или l В формулу Гаусса входят две величины, которые являются числовыми характеристиками случайной величины или параметрами случайной величины. От их значения зависит вид графика распределения.

l Первый параметр, обозначаемый как а, называется математическим ожиданием. Он характеризует центр распределения случайной l Первый параметр, обозначаемый как а, называется математическим ожиданием. Он характеризует центр распределения случайной величины. Для нахождения математического ожидания используется формула , l где хi - значение случайной величины – роста, веса и т. д. , pi – вероятность появления значения случайной величины.

l Если учесть, что , l то получим формулу , l из которой видно, l Если учесть, что , l то получим формулу , l из которой видно, что математическое ожидание – это среднее значение случайной величины во всей ее генеральной совокупности.

l Другой числовой характеристикой случайной величины является дисперсия, обозначаемая буквой D или σ2 (D=σ2). l Другой числовой характеристикой случайной величины является дисперсия, обозначаемая буквой D или σ2 (D=σ2).

l где N объем генеральной совокупности. Эта величина отражает меру рассеяния значений случайной величины l где N объем генеральной совокупности. Эта величина отражает меру рассеяния значений случайной величины возле центра распределения.

l Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (С. К. О. ) или l Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением (С. К. О. ) или стандартным отклонением и обозначается буквой σ ( ), тогда

f(x) σ1 σ2 σ3 a x f(x) σ1 σ2 σ3 a x

Теория оценок в математической статистике Теория оценок в математической статистике

Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам Оценка среднего для генеральной совокупности (т. е. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборкам Оценка среднего для генеральной совокупности (т. е. математического ожидания), вычисленная по выборке, называется выборочным средним.

Выборочное среднее обозначают и вычисляют по формуле: где n — объем выборки. Выборочное среднее обозначают и вычисляют по формуле: где n — объем выборки.

Оценка стандартного отклонения называется выборочным стандартным отклонением Sx и определяется следующим образом: Т. е. Оценка стандартного отклонения называется выборочным стандартным отклонением Sx и определяется следующим образом: Т. е. Sx точнее соответствует σ, если в знаменателе стоит не n, а n – 1. Приближенно можно считать

Выборочное стандартное отклонение в квадрате – это выборочная дисперсия Dx. Т. е. Dx≈D Выборочное стандартное отклонение в квадрате – это выборочная дисперсия Dx. Т. е. Dx≈D

Понятие стандартной ошибки l стандартная ошибка среднего – позволяет оценить точность, с которой выборочное Понятие стандартной ошибки l стандартная ошибка среднего – позволяет оценить точность, с которой выборочное среднее характеризует значение среднего всей генеральной совокупности.

носит название стандартной ошибки среднего. носит название стандартной ошибки среднего.

Интервальные оценки параметров генеральной совокупности Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

l Интервальной оценкой СВ называется множество точечных оценок, которые накрывают неизвестный параметр. l Интервальной оценкой СВ называется множество точечных оценок, которые накрывают неизвестный параметр.

интервал расположен симметрично относительно центра нормального распределения, так что влево и вправо от а интервал расположен симметрично относительно центра нормального распределения, так что влево и вправо от а взяты одинаковые отрезки ∆x (см. рис. ), то ширина интервала будет 2∆x.

Функция Лапласа l Для решения задачи интервального оценивания перейдем от переменной x к переменной Функция Лапласа l Для решения задачи интервального оценивания перейдем от переменной x к переменной t в функции Гаусса.

Используя параметр t, можно произвести замену переменной в функции Гаусса Используя параметр t, можно произвести замену переменной в функции Гаусса

график сдвигается в начало координат в точку с координатой t=0 с границами интервала – график сдвигается в начало координат в точку с координатой t=0 с границами интервала – t и + t f(t) 0 -t t +t

Тогда для нахождения вероятности попадания значения СВ в интервал от –t до +t, проинтегрируем Тогда для нахождения вероятности попадания значения СВ в интервал от –t до +t, проинтегрируем функцию плотности вероятности в данных пределах

Учитывая симметричность интервала, найдем площадь от 0 до t и умножим на два Учитывая симметричность интервала, найдем площадь от 0 до t и умножим на два

Подставим в данное выражение функцию Гаусса Подставим в данное выражение функцию Гаусса

Значения данного интеграла для разных t вычислил Лаплас и представил их в виде таблицы. Значения данного интеграла для разных t вычислил Лаплас и представил их в виде таблицы. Эту таблицу можно найти в любом математическом справочнике (см. Табл. 1). Поскольку значения этого интеграла зависят от величины верхнего предела t, то интеграл от функции Гаусса стали называть функцией Лапласа и обозначать как

Таблица значений функции Лапласа Ф(t) = Таблица значений функции Лапласа Ф(t) =

l Таким образом, вероятность нахождения неизвестного значения оцениваемого параметра генеральной совокупности можно найти по l Таким образом, вероятность нахождения неизвестного значения оцениваемого параметра генеральной совокупности можно найти по формуле: Р=2 Ф(t).

Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ

Варианты задачи интервального оценивания при известном σ Варианты задачи интервального оценивания при известном σ

Вариант 1 l Пусть необходимо найти доверительный интервал х в котором заключено отдельное значение Вариант 1 l Пусть необходимо найти доверительный интервал х в котором заключено отдельное значение некоторого параметра, для заданной доверительной вероятности Р, если стандартное отклонение σ известно. l По заданной вероятности, следует найти функцию Лапласа Ф(t)=Р/2 (вероятность нужно выражать не в процентах, а в виде десятичного числа: 0, 95; 0, 90 и т. д. ). l По таблице Лапласа для данного значения Ф(t) выбирается t. l Определить полуширину доверительного интервала по формуле: l l Определить границы доверительного интервала: l xл= a – х, xп= a + х.

Вариант 2 l Пусть необходимо найти доверительную вероятность Р того, что отдельное значение некоторого Вариант 2 l Пусть необходимо найти доверительную вероятность Р того, что отдельное значение некоторого параметра заключено в доверительном интервале х , при известном значении σ. l По известному значению х определить параметр t по формуле: l l По таблице Лапласа для данного значения t выбирается Ф(t). l Определить доверительную вероятность по формуле: Р=2 Ф(t).