Основные понятия математической статистики F(x) - неубывающая, Плотность распределения: то есть
Числовые характеристики законов распределения случайных величин - числовые характеристики срединного значения СВ Мода: Медиана: Математическое ожидание: - для непрерывной СВ - для дискретной СВ
Свойства математического ожидания: Последнее свойство справедливо для независимых СВ, т. е. СВ, имеющих распределения, не зависящие от значений, принимаемых другими СВ
- числовые характеристики срединного значения; Дисперсия: разброса СВ относительно - для непрерывной СВ - для дискретной СВ - для выборки объемом N При малых объемах выборки используют уточненную формулу
Свойства дисперсии: - справедливо для независимых СВ Вариация:
- числовые характеристики асимметричности распределения Асимметрия: где s — среднеквадратичное отклонение - числовые характеристики плоско- или островершинности распределения Эксцесс:
Теорема о математическом ожидании и дисперсии среднего
Решение задач математической статистики Существует два типа задач : I. По выборке судить о генеральной совокупности; II. По выборке судить о выдвинутой статистической гипотезе. Решение этих задач основано на использовании законов распределения случайных величин и квантилей распределения. Квантилем называется значение случайной величины х с приписанной вероятностью р, т. е. хр, для которого Квантили наиболее распространенных распределений табулированы (рассчитаны) и приводятся в справочниках.
Для односторонних оценок Двухсторонние оценки, т. е. вероятность нахождения СВ в интервале между квантильными границами: Для распределений, симметричных относительно нуля
Нормальный закон распределения Кривая Гаусса:
Для более удобного использования проводят нормирование СВ Х путем перехода от Х к новой СВ U: При этом Тогда для нормального стандартного распределения: Связь между квантилями СВ Х и СВ U:
Общий алгоритм решения задач первого типа: 1. В качестве исходных данных имеем тип закона распределения СВ Х и результаты испытаний этой величины, по которым определяются выборочные оценки. 2. Находим связь СВ Х с другой СВ, квантили которой известны. 3. Задаёмся доверительной вероятностью р, с которой хотим получить оценку генерального параметра и определяем квантильные границы. Записываем неравенство для двусторонней или односторонней оценки и решаем его относительно интересующего нас генерального параметра. 4. Итогом решения задачи первого типа является утверждение вида: «с доверительной вероятностью р генеральный параметр заключен внутри найденного доверительного интервала» , или «не превосходит найденной величины» , или «не менее найденной величины» .
Пример. Дано: X – нормально распределенная СВ. Известна генеральная дисперсия и результат одного испытания СВ – x 0. Требуется: опеределить математическое ожидание СВ Решение: Воспользуемся стандартным нормальным распределением и перейдем к U: Задаемся вероятностью р и определяем квантильные границы С вероятностью р или
Если это выражение справедливо для СВ Х, то оно справедливо и для любого из значений СВ Х: Решим неравенство относительно а: Вывод: С вероятностью р или
Для вероятности р=0, 95 квантиль нормального распределения равен Из этого вытекает «Правило двух сигма» : стандартного Если СВ распределена по нормальному закону, то с вероятностью р = 0, 95 ее математическое ожидание отличается от любого наблюдаемого значения не более, чем на Если бы в рассматриваемом примере мы располагали результатами нескольких измерений, то это позволило бы повысить точность, т. е. уменьшить доверительный интервал: Последнее выражение можно использовать для определения объема выборки, при заданном доверительном интервале.
Общий алгоритм решения задач второго типа: 1. Формулируется гипотеза в виде закона распределения СВ Х и его числовых характеристик. 2. Устанавливается связь СВ Х с другой СВ с известными квантилями. 3. Выбирается уровень значимости q. 4. Находятся квантильные границы, определяющие критические области гипотезы. 5. Гипотеза не отвергается на уровне значимости q, если значение, вычисленное по результатам испытаний СВ, лежит вне критической области или отвергается на том же уровне значимости, если оно попадает в критическую область.
При решении задач второго типа существует вероятность совершить одну из двух ошибок: v отвергнуть правильную гипотезу (ошибка I-ого рода); v не отвергнуть неверную гипотезу (ошибка II-ого рода). Вероятность совершить ошибку I-ого рода не выше уровня значимости (q) и падает с его уменьшением. Вероятность совершить ошибку II-ого рода уменьшается с ростом уровня значимости. Пример. Пусть статистическая гипотеза состоит в том, что СВ Х имеет стандартное нормальное распределение, т. е Требуется: проверить эту гипотезу, на основании результата одного испытания СВ - х0. критическая область гипотезы - u 1 -q/2 0 х0 u 1 -q/2 х0 x=u
Скачать презентацию Основные понятия математической статистики F x — неубывающая Плотность
Мат. стат.ppt