Основные понятия математической логики АРИСТОТЕЛЬ 384 -322

Основные понятия математической логики

АРИСТОТЕЛЬ (384 -322 до н. э. ) Древнегреческий философ. Основоположник формальной логики.

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (1646 — 1716) Немецкий математик, физик и философ. Заложил основы математической логики.

ДЖОРДЖ БУЛЬ (1815 — 1864) Английский математик и логик. Сегодня идеи Буля используются во всех современных цифровых устройствах.

Логическое высказывание повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Истина=1 Ложь=0 А: «дважды два равно четырем» истинно А=1, В: «три больше пяти» всегда есть ЛОЖЬ В=0.

Типы высказываний: Простое – никакая его часть сама не является высказыванием. Составное (сложное) – состоит из простых высказываний,

Составляющие логического высказывания Субъект, S понятие о предмете мысли Предикат, P понятие о свойствах и отношениях предмета мысли. Субъект и предикат - термины суждения. Связка отношения между субъектом и предикатом (выражается «есть» , «не есть» , «является» , «состоит» и т. д. ) «Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств»

Логические операции: • • • Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Строгая дизъюнкция Импликация Эквиваленция

Отрицание (NOT, не верно, что) Обозначения: ¬А; Ā Инверсия высказывания истинна, высказывание ложно, и ложна, высказывание истинно. когда Таблица истинности А= {Аристотель основоположник логики. } А Ā Ā = {Неверно, что Аристотель 0 1 основоположник логики. } 1 0

Конъюнкция (AND, и, но, а, однако ) Обозначения: А·В; АΛВ; А&В Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Таблица истинности А В С=А&В 0 0 1 1 1 А= «высота шкафа меньше ширины двери» В= «ширина шкафа меньше ширины двери» А&В = «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери»

Дизъюнкция (OR, или, либо) Обозначение: А v В Дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно и ложна, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности А В С=A v В 0 0 1 1 1 0 1 1 Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай.

Строгая дизъюнкция (XOR, или…или, либо…либо) Обозначение: А В, А v В Строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда только одно из высказываний истинно. Таблица истинности А В С= А 0 0 1 1 0 В Данное существительное или во множественном или единственном числе.

Импликация (если-то, следует) Обозначения: А→В, А=>В. Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Таблица истинности А В С=А→В 0 0 1 1 1 Если идет дождь, то на небе тучи. А= идет дождь - посылка В= на небе тучи - заключение

Эквиваленция (тождественно, равносильно) Обозначение: А=В; А<->В; А~В Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Таблица истинности А В С=А~В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А={Угол прямой}; В={Угол равен 900} А<->В={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900}

С = (( A v В) -> В) v А Приоритет операций: • • отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквиваленция.

Схема НЕ (инвертор)

Схема И-НЕ

Схема ИЛИ-НЕ

Основные логические союзы (связки), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания. В естественном языке В логике ……. и……. конъюнкция ……или…… дизъюнкция …. . Неверно, что…. . в том и только в том случае…. инверсия эквивалентность ……но…. . конъюнкция …. . а…. . конъюнкция Если…. , то…. . импликация ……однако…. конъюнкция …. тогда и только тогда, когда…. Либо…. либо… …. необходимо и достаточно…. эквивалентность строгая дизъюнкция эквивалентность Из ………следует…. импликация ……влечёт…. импликация ……равносильно…. эквивалентность

В зале № 1 идет лекция по психологии или философии. У пациента ушиб или растяжение. Аня отличница, но плохая спортсменка. Если пожелтели листья, то пришла осень. Чтобы перейти на следующий курс достаточно сдать сессию на тройки.

Основные понятия математической логики Сидорова Юлия Халиловна Старший преподаватель кафедры физики и информатики jusi@list. ru

Спасибо за внимание!