Основные понятия математической логики 1 Высказывание Типы высказываний

Основные понятия математической логики 1. Высказывание. Типы высказываний. 2. Составляющие (термины) логического выражения. 3. Отрицание, таблица истинности отрицания. 4. Конъюнкция, таблица истинности. 5. Дизъюнкция, таблица истинности. 6. Импликация, таблица истинности. 7. Эквиваленция, таблица истинности. 8. Приоритет логических операций. 9. Обозначение логических элементов.

ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ ИСТИНА=1 ЛОЖЬ=0 А: «ДВАЖДЫ ДВА РАВНО ЧЕТЫРЕМ» ИСТИННО А=1, В: «ТРИ БОЛЬШЕ ПЯТИ» ВСЕГДА ЕСТЬ ЛОЖЬ В=0.

Типы высказываний: Простое – никакая часть высказывания сама не является высказыванием. Составное (сложное) – состоит из простых высказываний,

S есть P Субъект, S понятие о предмете мысли Предикат, P понятие о свойствах и отношениях предмета мысли. Субъект и предикат - термины суждения. Связка отношения между субъектом и предикатом (выражается «есть» , «не есть» , «является» , «состоит» и т. д. )

3 элемента логического выражения - субъект, предикат и связка (два термина и связка). Состав суждения – «S есть P» или «S не есть P» . «Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств»

Предикат - функциональная зависимость. В общем случае предикат от n переменных (от n неопределенных понятий) выражается формулой: Р (х1, х2, . . . , хn ), где n >0 При n = 1, когда один из терминов является неопределенным понятием, мы имеем предикат первого порядка, например, «х – человек» При n = 2, когда два термина не определены, мы имеем предикат второго порядка, например, «х любит y» При n = 3, когда неопределенны три термина, мы имеем предикат третьего порядка, например, «z - сын x и y» .

Логические операции: • Отрицание • Конъюнкция • Дизъюнкция • Строгая дизъюнкция • Импликация • Эквиваленция

ОТРИЦАНИЕ (НЕ, NOT) Обозначения: ¬А, Ā, ~А Инверсия высказывания истинна, высказывание ложно, и ложна, высказывание истинно. Таблица истинности А Ā 0 1 1 0 когда А= {Аристотель основоположник логики. } Ā = {Неверно, что Аристотель основоположник логики. }

Конъюнкция (логическое умножение) (и, AND ) Обозначения: А·В; АΛВ; А&В Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Таблица истинности А В С=А&В 0 0 1 1 1 А= «высота шкафа меньше ширины двери» В= «ширина шкафа меньше ширины двери» А&В = «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери»

ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ) ИЛИ, OR Обозначение: А v В, А+В Дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно и ложна, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности А В С=A v В 0 0 1 1 1 0 1 1 Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай

СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ (XOR) Обозначение: А В, А v В Строгая дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда одно из высказываний истинно. Таблица истинности А В С=А 0 0 1 1 1 0 В Данное существительное во множественном или единственном числе

ИМПЛИКАЦИЯ (СЛЕДОВАНИЕ) Обозначения: А→В, А=>В. Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Таблица истинности А В С=А→В 0 0 1 1 1 Если идет дождь, то на небе тучи. А= идет дождь - посылка В= на небе тучи – заключение

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (ТОЖДЕСТВО) Обозначение: А=В; А<->В; А~В Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Таблица истинности А В С=А~В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 А={Угол прямой}; В={Угол равен 900} А<->В={Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900}

отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквиваленция. С = (( A v В) -> В) v А

В естественном языке В логике ……. и……. конъюнкция ……однако…. конъюнкция ……но…. . конъюнкция …. . а…. . конъюнкция …. . Неверно, что…. . ……или…… инверсия дизъюнкция Либо…. либо… строгая дизъюнкция Если…. , то…. . импликация Из ………следует…. импликация ……влечёт…. импликация …. необходимо и достаточно…. эквиваленция ……равносильно…. эквиваленция …. . в том и только в том случае…. эквиваленция

Аксиомы: x = 0, если x 1. x = 1, если x 0. 1 1=1 0 0=0 0 1=1 0 0=0 1 1=1 1 0=0 1=0

ТОЖДЕСТВА:

Законы алгебры логики: Переместительный (или коммутативный) Сочетательный (или ассоциативный) Распределительный (или дистрибутивный)

Схема НЕ (инвертор)

Схема И-НЕ

Схема ИЛИ-НЕ