Основные понятия и методы теории вероятностей
События • Детерминированные – о которых точно известно, что причина приведет к определенному следствию. • Случайные – в которых исход непредсказуем.
Астрономия Метеорология
В окружающей действительности имеется множество случайных явлений, подчиняющихся законам, проявляющимся при большом числе наблюдений.
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Основная задача теории вероятностей – установление математических законов для исследования случайных величин массового характера и предвидения их на основании отдельных фактов. В теории вероятностей изучаются модели экспериментов, результаты которых нельзя предсказать заранее. «эксперимент» = «опыт» = «испытание» «результаты» = «исходы»
Из истории теории вероятностей Основы теории вероятностей заложены: • В 16 -18 вв. Б. Паскалем, Ферма, Г. Галилеем, Я. Бернулли, П. С. Лапласом, Муавром и др. • В 19 в. внесены современные идеи российскими учеными: П. Л. Чебышевым и его учениками А. А. Марковым и А. М. Ляпуновым. • В 20 в. вклад в развитие теории вероятностей внесли российские математики: С. Н. Бернштейн, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, B. C. Пугачев, В. И. Романовский, Н. В. Смирнов, А. Я. Хинчин и др.
Современная теория вероятностей основана на аксиоматическом подходе Колмогорова. Практическое значение вероятностных методов – по известным характеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики более сложных явлений.
Эксперимент, опыт или наблюдение называют испытанием. Результат (исход) эксперимента называют событием. Например. Извлечение карты из колоды – испытание. Исход испытания – извлечение дамы бубен. Условие испытания - число карт в колоде (36 или 52).
Определение Случайным событием называется результат испытания (или наблюдения), который при данном испытании может произойти, а может и не произойти.
Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в испытании. Случайное событие, обозначается А Невозможное событие Ø – событие, которое не может произойти в результате данного опыта. Достоверные и невозможные события неслучайны.
События: Совместные события – события, при которых наступление одного из них в результате эксперимента не исключает появления других. Несовместные события – события, при которых появление одного из них в результате эксперимента исключает появление других.
Единственно возможные события такие, при которых хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате испытания Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными
Отдельный исход испытания называют элементарным событием, например, извлечение любой карты из колоды. Набор всех элементарных событий называют пространством событий, или полной группой событий. например, 36 или 52 карты.
Определение Пространством элементарных событий называют множество Ω взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. Элементы Ω называются элементарными событиями и обозначаются .
• Случайным событием называют любое подмножество А Ω элементов из Ω. • Событие А произойдет, если произойдет какое-либо событие из элементарных событий А
Полная группа событий {A 1, A 2, . . . , Аn} – совокупность единственно возможных и несовместных = Ω и ∩Аj =Ø для любой пары (i j) событий.
Какие из перечисленных событий являются достоверными? 1. 2. 3. 4. Замерзшая вода при сильном морозе После мая всегда идет июнь Попадание дротиком с первого раза Выпадение 7 очков при игре в кости
Алгебра случайных событий и теория множеств Противоположные события, произведение событий, АUВ=Ø Сумма событий
• Суммой двух событий и называется событие + , состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий или . • Произведением двух событий и называется событие , состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно и . • Противоположным событием событию называют событие , состоящее из элементарных событий, не принадлежащих . • Разностью двух событий и называют событие , состоящее из элементарных событий, которые входят в событие .
Задача • В урне 5 красных, 2 синих, 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1, 2, …, 10. Из урны берется наудачу 1 шар. Обозначим события : А – шар оказался с четным номером, В – с номером кратным 3, С – шар красного цвета, Д – шар синего цвета, Е – шар белого цвета. Что представляют собой события: АВ; С+Е; АД; А-В;
Понятие вероятности случайного события Вероятность – количественная мера неопределенности, выражающая степень уверенности в наступлении события. Вероятность – число Р(А) [0; 1], характеризующее степень возможности появления события А.
Для двух событий… 1. Вероятность достоверного события Р(Ω)=1. 2. Вероятность невозможного события Р(Ø)=0. 3. Вероятность случайного события 0≤P(A)≤ 1. 4. Сумма вероятностей противоположных событий Р(А)+Р(Ā)=1.
Аксиоматическое определение вероятности Вероятностью P(A) называется числовая функция, определенная на всех F и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей): P(A) 0; P( )=1; Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий таких, что при
Тройка ( , F , P), где - множество элементарных событий F – множество всех подмножеств P – множество вероятностей случайных событий, называется вероятностным пространством (это понятие введено А. Н. Колмогоровым)
Классическая вероятность – это вероятность, базирующаяся на симметричной игре шансов или одинаковых ситуациях и исходящая из равновозможности определенных явлений.
Классическое определение вероятности Вероятность появления события А – это отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Р(А)= , где 0 ≤ М ≤ N – целое неотрицательное число благоприятствующих событию А исходов, N – число всех исходов.
Задача В урне находятся 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. n = 2+3 = 5, m = 2,
Статистическое определение вероятности Относительная частота – результат многократных испытаний. С увеличением числа испытаний относительная частота проявляет тенденцию стабилизироваться, проявляет устойчивость. Статистическая вероятность события А – частотность события, вычисленная по результатам большого числа испытаний Р*(А)≈Р(А) (обосновано в законе больших чисел Я. Бернулли)
Геометрическое определение вероятности D d Вероятность события А – «точка попадает в область d» равна
Алгоритм решения задач определения вероятности события: 1. Определить состав эксперимента. 2. Определить элементарное событие в эксперименте. 3. Определить полную группу событий, найти число событий в группе. 4. Определить интересующее нас событие, найти их число в опыте. 5. Найти вероятность события по формуле.
Задача 1 Последовательно бросили две игральные кости. Какова вероятность события В – «при бросании костей в сумме выпало 8 очков» , и вероятность события С – «при бросании в сумме выпало 12 очков» . Решение Состав эксперимента: бросили две игральные кости. Результаты эксперимента: Элементарные события выпадение на двух кубиках некоторого количества очков. Полная группа событий выпадение на двух кубиках (1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (6, 6) Событие В – в сумме выпало 8 очков Событие С – в сумме выпало 12 очков
Решение Р(В)= ? При бросании возможно 36=6*6 равновозможных элементарных исходов. Событию В благоприятны 5 исходов 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2 Р(В)=5/36
Решение При бросании возможно 36=6*6 равновозможных элементарных исходов. Один благоприятствующий исход 6+6=12 очков. Р(С)= 1/36
Задача 2 В ящике имеются два красных, два белых и шесть синих шаров. Наудачу вынимаем два шара. Какова вероятность событий А – «вынуты два красных шара» и В – «вынуты два синих шара» ?
2 – крас. , 2 – бел. , 6 – син. Всего - 10 шаров • Число всех равновозможных исходов испытания равно количеству комбинаций из 10 по 2. С=45
Сколько исходов благоприятных событию А «вынуты два красных шара» ? событию А благоприятствует один исход, т. к. красных шаров – два. Р(А)=1/45
Число исходов благоприятных событию В (два синих шара) равно количеству комбинаций из 6 по 2. С=15 Р(В)=15/45=1/3
Задача 3 В урне было 5 шаров черного и 3 шара белого цвета. Один шар был вытащен (цвет его неизвестен). Затем вытащили еще два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? (Ответ записать в виде обыкновенной дроби).
Задача 4 Из 10 студентов, среди которых 4 юноши, случайным образом выбирают 5 человек для участия в игре. Какова вероятность, что среди выбранных студентов будут 2 юноши?
Теорема сложения вероятностей Для совместных событий Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2) Для несовместных событий Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)
Например: • • В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 руб. 100 выигрышей по 100 руб. 500 выигрышей по 25 руб. 1000 выигрышей по 5 руб. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 25 руб. ?
Решение А – «человек выиграл не менее 25 руб. ? » В – «человек выиграл 200 руб. ? » С – «человек выиграл 100 руб. ? » D - «человек выиграл 25 руб. ? » P(A)=P(В+С+D)=P(B)+P(C)+P(D)= =10/10000+100/10000+500/10000= =0, 061.
События называют независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. ? ? Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми.
Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого Р(АВ) = Р(В)∙Р(А/В) = Р(A)∙Р(B/A).
Задача. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса (событие А). Решение. Определим события: А – «студент знает три вопроса билета» ; A 1 – «студент знает 1 -ый вопрос билета» ; А 2 – «студент знает 2 -ой вопрос билета» ; А 3 – «студент знает 3 -ий вопрос билета» . События A 1, А 2, А 3 – зависимые: P(A)=P(А 1)·P(A 2/A 1)·P(A 3/A 1·A 2)= =(20/25)·(19/24)·(18/23)=57/115=0, 496.
Вероятность появления хотя бы одного события • Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий
Формула полной вероятности Пусть требуется определить вероятность некоторого события К, которое может произойти вместе с одним из событий А 1, А 2, …, Аn, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами. Формула полной вероятности: P(K) = P(A 1)PA 1(K) + P(A 2)PA 2(K) + … + P(An)PAn(K) или
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез: А 1, А 2, …, Аn Вероятности этих гипотез до проведения опыта известны и равны соответственно: P(А 1), P(А 2), …, P(Аn) Произведен опыт, в результате которого наступило некоторое событие К. Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез в связи с появлением этого события? То есть необходимо найти условную вероятность PK(Ai) для каждой гипотезы Ai. PK(Ai) – ?
Формула Байеса Согласно теореме умножения вероятностей, P(Ai. K) = P(Ai)PAi(K) и P(Ai. K) = P(K)PK(Ai) P(Ai)PAi(K) = P(K)PK(Ai) Подставляя P(K) по формуле полной вероятности, получим Формулу Байеса (или теорему гипотез):
Н(а) - энтропия мера объективной неопределенности. Н(а) = -ΣРi log Pi где а – элементарное событие, Р – вероятность события, i = 1, … n Для опыта с двумя возможными исходами H(a)= - P 1 log. P 1 – P 2 log P 2, Р 1 и Р 2 в этом выражении – вероятности отдельных исходов а 1 и а 2 эксперимента а. H(a)= 1
Задача. В сосуде 10 шаров, из них n – белые, 10 -n – черные. Из сосуда вынимают один шар. Возможные исходы этого эксперимента – вынутый шар белый или черный. Как выражается неопределенность в предсказании цвета вынимаемого шара.
n – белые (10 -n) – черные шары H(a)= - P 1 log. P 1– P 2 log P 2= =- log – (1 - log )
Н 0 H(a)=- 10 log – (1 - log n )
Н(а) = -ΣРi log Pi P=1/16 Н(а) = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ---------------------0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
Теорема сложения вероятностей Для совместных событий Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2) Для совместных событий Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)
Задача • • В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 руб. 100 выигрышей по 100 руб. 500 выигрышей по 25 руб. 1000 выигрышей по 5 руб. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 25 руб. ?
Задача В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: • • 10 выигрышей по 200 руб. 100 выигрышей по 100 руб. 500 выигрышей по 25 руб. 1000 выигрышей по 5 руб. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 25 руб. ? Решение А – «человек выиграл не менее 25 руб. ? » В – «человек выиграл 200 руб. ? » С – «человек выиграл 100 руб. ? » D - «человек выиграл 25 руб. ? » P(A)=P(В+С+D)=P(B)+P(C)+P(D)= 10/10000+100/10000+500/10000=0, 061.
Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)=Р(A)∙Р(B/A). Пример. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения заказа в корпорации А (событие А) равна 0, 45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0, 9. Какова вероятность получения фирмой обоих заказов? Решение. Согласно условиям Р(А)=0, 45, Р(В/А)=0, 9. Необходимо найти P(AB), которая является вероятностью того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут. Р(АВ)=Р(А)∙Р(В/А)=0, 45∙ 0, 9=0, 405.
Задача. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса (событие А). Решение. Определим события: А – «студент знает три вопроса» ; A 1 – «студент знает 1 -ый вопрос» ; А 2 – «студент знает 2 -ой вопрос» ; А 3 – «студент знает 3 -ий вопрос» . События A 1, А 2, А 3 – зависимые: P(A)=P(А 1)·P(A 2/A 1)·P(A 3/A 1·A 2)= =(20/25)·(19/24)·(18/23)=57/115=0, 496.
Вероятность появления хотя бы одного события • Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий
Формула полной вероятности
Пример
Пример А 1 – выбор первой урны, А 2 – выбор второй урны, А 3 – выбор третьей урны, К – появление белого шара. P(A 1) = P(A 2) = P(A 3) = 1/3 PA 1(K) = 2/3; PA 2(K) = 3/4; PA 3(K) = ½ K = A 1 K + A 2 K + A 3 K P(K) = P(A 1 K) + P(A 2 K) + P(A 3 K) P(K) = P(A 1)PA 1(K) + P(A 2)PA 2(K) + P(A 3)PA 3(K)
Формула полной вероятности Пусть требуется определить вероятность некоторого события К, которое может произойти вместе с одним из событий А 1, А 2, …, Аn, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами. Формула полной вероятности: P(K) = P(A 1)PA 1(K) + P(A 2)PA 2(K) + … + P(An)PAn(K) или
Доказательство Так как гипотезы А 1, А 2, …, Аn образуют полную группу, то событие К может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, то есть: К = А 1 К + А 2 К + … + Аn. К. Так как гипотезы А 1, А 2, …, Аn несовместны, то и комбинации А 1 К, А 2 К, …, Аn. К также несовместны. Поэтому к ним можно применить теорему сложения вероятностей: P(K) = P(A 1 K) + P(A 2 K) + … + P(An. K)
Задача 1 По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0, 4; при втором – 0, 5; при третьем – 0, 7. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0, 2; при двух попаданиях – с вероятностью 0, 6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.
Решение Рассмотрим четыре гипотезы: А 0 – в самолет не попало ни одного снаряда, А 1 – в самолет попал один снаряд, А 2 – в самолет попало два снаряда, А 3 – в самолет попало три снаряда. P(A 0) = 0, 6 0, 5 0, 3 = 0, 09 P(A 1) = 0, 4 0, 5 0, 3 + 0, 6 0, 5 0, 7 = 0, 06 + 0, 09 + 0, 21 = 0, 36 P(A 2) = 0, 4 0, 5 0, 3 + 0, 4 0, 5 0, 7 + 0, 6 0, 5 0, 7 = 0, 06 + 0, 14 + 0, 21 = 0, 41 P(A 3) = 0, 4 0, 5 0, 7 = 0, 14
Решение Событие К – выход самолета из строя Условные вероятности события К при этих гипотезах равны: PA 0(K) = 0; PA 1(K) = 0, 2; PA 2(K) = 0, 6; PA 3(K) = 1. P(K) = P(A 0)PA 0(K) + P(A 1)PA 1(K) + P(A 2)PA 2(K) + P(A 3)PA 3(K) P(K) = 0, 09 0 + 0, 36 0, 2 + 0, 41 0, 6 + 0, 14 1 = 0 + 0, 072 + 0, 246 + 0, 140 = 0, 458
Задача 2 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 – белые; во второй урне 20 шаров, из них 4 – белые. Из каждой урны наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад выбрали 1 шар. Найти вероятность того, что был взят белый шар.
Решение
Скачать презентацию Основные понятия и методы теории вероятностей События
Слайды к лекции Эл.теор.вер.2012(ред).ppt