Основные понятия алгебры высказываний Булева алгебра.
Булева алгебра (названа в честь английского математика XIX века Джорджа Буля) рассматривает величины, принимающие только два значения — 0 или 1. Значение булевой величины можно представлять как ложность или истинность какого-либо утверждения (0 — ложь, 1 — истина). Поэтому с такими величинами можно производить различные операции — так же, как мы оперируем с утверждениями при рассуждениях. Основные операции — это И, ИЛИ, НЕ. Выполнение логических операций можно проиллюстрировать на наглядной физической модели «водопровода» . Представим утверждения, над которыми производятся операции, в виде вентилей на трубах (открытый вентиль — утверждение истинно, закрытый — ложно). Результат операции представим в виде крана, из которого вода может либо течь (истина), либо не течь (ложь). На рис. изображены системы труб, реализующие основные логические операции. Например, рассмотрим операцию И: С = А И В (рис. а). Вентили А и В установлены на трубе последовательно, поэтому вода из крана С течет, только если они оба открыты. Если же установить вентили на две параллельные трубы, соединяющиеся в одну, то такая система будет выполнять операцию ИЛИ: если хотя бы один из вентилей А или В открыт, вода из крана С потечет, т. е. С = А ИЛИ В (рис. б). На рис. в представлена система, выполняющая операцию НЕ: если вентиль А закрыт, то вода протекает в кран В, если же он открыт, то вся вода стекает в «запасную» трубу, и через кран В не течет, т. е. В = НЕ А. Можно ли перенести те же системы из области гидродинамики в область электроники, то есть создать электронные логические схемы? Ясно, что для этого понадобятся устройства, подобные вентилям на трубах, которые в зависимости от установленного положения либо пропускают воду по трубе, либо нет. «Электронные вентили» должны обладать подобными свойствами, т. е. регулируемой проводимостью электрического тока. Оказывается, именно триод и транзистор могут выполнять функции вентиля в электрической схеме. Чтобы понять, как это возможно, надо разобраться в физических принципах работы триода и транзистора
Логика – наука о правильном мышлении. Одна из главных задач логики – определить, как прийти к выводу из предпосылок. Булева алгебра (алгебра логики, алгебра суждений) – раздел математики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Объектами, с которыми работает алгебра высказываний, являются повествовательные предложения, относительно которых можно сказать, истинны они или ложны.
Логическими значениями высказываний является «истина» и «ложь» . Ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Примеры высказываний: 1) Москва – столица России; 2) Число 27 является простым; 3) Волга впадает в Каспийское море. Следующие предложения высказываниями не являются: 1) Давай пойдем гулять; 2) 2*x>8; 3) a*x 2+b*x+c=0; 4) Который час? 5) Светало. 6) Руки вверх!
Высказывания обозначаются большими буквами и, следуя Джорджу Булю, истинное высказывание A обозначим так, A=1. В том случае, когда A – ложное высказывание, будем писать: A=0. Из простых высказываний можно строить сложные, называемые составными высказывания, соединяя простые логическими операциями. Над простыми высказываниями определены следующие операции: n логическое отрицание (NOT); n логическое умножение (AND); n логическое сложение (OR); n логическое следование или импликация; n эквивалентность.
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО. . . ". Инверсия обозначается : не А; ¬А; not A Значение истинности инверсии определяется по специальной таблице истинности, которая выглядит так: А ¬А 0 1 1 0
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза "И". ПРИМЕРЫ: Допустим, из моего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: “Мерседес” и “Жигули”, но может находиться и какая-то одна из них, или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А = На автостоянке стоит "Мерседес" В = На автостоянке стоят "Жигули" А конъюнкция В = На автостоянке стоят "Мерседес" и "Жигули" Операция конъюнкции обозначается: Λ; &; *; and; и.
Таблица истинности А B A&B 0 0 1 1 1 Пересечение множеств
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ. Примеры: Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано). Студент едет в электричке или читает книгу. Обозначается: А или В; А OR В; А | В; А V В
Таблица истинности А B AVB 0 0 1 1 1 0 1 1 Объединение множеств
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи "ЕСЛИ. . . , ТО. . . " ПРИМЕРЫ: n Если клятва дана, то она должна выполняться. n Если число делится на 9, то оно делится на 3. Импликация обозначается: А→В; Говорят: "Если А, то В", "А имплицирует В", "А влечет В", "В следует из А". Вместо операции импликации можно использовать следующее тождественное выражение: A → B = ¬A V B
А B A→B 0 0 1 1 1 Из таблицы истинности видно, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (истинная предпосылка ведет к ложному выводу).
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) Образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи ". . . ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА. . . ". ПРИМЕРЫ: n “Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 градусов” n “Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются” Все законы математики, физики, все определения - суть эквивалентность высказываний. Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В; А↔В; А <=> В
А B A ↔B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна, тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны. Для замены операции эквивалентности существует два выражения: A <=> B = (A B) V (¬A ¬B) A <=> B = (A V ¬B) (¬A V B)
Использование булевых функций в синтезе цифровых схем. Всякое устройство ЭВМ можно представить как функциональный преобразователь, выполняющее арифметические действия над двоичными числами (есть сигнал, нет сигнала). Цифровой сигнал - это сигнал, который может принимать только два установленных значения. Физическая природа сигнала может быть самой различной, например, n появление на выходе схемы напряжения или силы тока определенной величины, n включение лампы или звонка, n нажатие кнопки, n срабатывание электромагнитного реле и другие изменения в электрической цепи.
При этом существенно, чтобы имелось два резко отличных состояния физических величин (обозначаемых 0, 1), моделирующих истинность или ложность логических высказываний. Входными переменными (аргументами) такого преобразователя являются исходные двоичные числа, а выходной функцией от них - новое двоичное число, которое образовалось в результате выполнения данной операции. При этом как входные переменные, так и выходные функции могут принимать лишь одно из двух возможных значений - 0 (ложь - нет сигнала) и 1 (истина - есть сигнал).
Работа всех современных вычислительных машин заключается в обработке и пересылке последовательностей нулей и единиц. В виде таких последовательностей кодируется текстовая, графическая, звуковая и числовая информация. Обработку двоичной информации осуществляет арифметико-логическое устройство, являющееся частью процессора. Это устройство состоит из логических элементов. Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ "НЕ" (инвертор). Обеспечивает на выходе сигнал, противоположный сигналу на входе, т. е. на его выходе будет 1, если на вход поступает 0 и наоборот. На схемах инверсия обозначается кружочком на выходе.
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ "И" (конъюнктор) Логическим элементом "И" называется такой элемент, который на выходе выдает значение логического произведения входных сигналов. На выходе элемент "И" дает 1 тогда и только тогда, когда на все входы поданы 1. Условное обозначение логического элемента "И":
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ "ИЛИ" (дизъюнктор) Логическим элементом "ИЛИ" называется такой элемент, который на выходе выдает значение логической суммы входных сигналов. На выходе дизъюнктор дает 1, если хотя бы на один из входов подана 1. Условное обозначение:
Сигнал, выработанный одним логическим элементом можно подавать на вход другого логического элемента. Это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов.
Цепочку из логических элементов будем называть логическим устройством. Схемы, соответствующие таким устройствам, называют функциональными. Пример более сложной функциональной схемы:
Приложение алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы - РКС) Устройства релейно-контактного действия широко используются в электронновычислительной технике. Эти устройства содержат сотни реле, полупроводников и электромагнитных элементов. Использование алгебры логики в конструировании РКС возможно в связи с тем, что каждой схеме можно поставит в соответствие некоторую формулу алгебры логики. Формулам, включающим основные логические операции, так же могут быть поставлены в соответствие РКС.
Конъюнкция двух высказываний будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей a, b. Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, если замкнуты (истинны) оба переключателя. а b
Дизъюнкция изобразиться двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей a, b. Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, если замкнут (истинен) один или замкнут (истинен) другой переключатель. a b
Написать формулу по заданной РКС: a -b b -a a a b b a -b b -a -a b b a -b
Построить РКС для функции:
Скачать презентацию Основные понятия алгебры высказываний Булева алгебра Булева
ЛЕКЦИЯ_логика.ppt