ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ Определения 2 Если

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

Определения 2 Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность {an}. Число A называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого >0 найдется номер такой N=N( ), что для всех n >N |an – A|<. Обозначение:

Число A называется пределом функции y=f(x) при x→∞, если для любого >0 найдется такое число S=S( )>0, что для всех x таких, что |x|>S выполняется неравенство |f(x) – A| < . Обозначение: Число A называется пределом функции y=f(x) при x→x 0, если для любого >0 найдется число δ=δ( )>0, что для всех x таких, что |x–x 0|<δ выполняется неравенство |f(x) – A| < . Обозначение: 3

Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x→x 0 (или x→∞), если или Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x→x 0, если для любого M >0 найдется число δ=δ(M)>0, что для всех x x 0 таких, что |x–x 0|<δ выполняется неравенство |f(x)| > M. Следовательно, 4

Свойства бесконечно малых 5 Если функции α(x) и (x) – бесконечно малые величины при x→x 0 (или x→∞), то будут бесконечно малыми величины: α(x) + (x), α(x) – (x), c ∙ α(x), где c=const, f(x) ∙ α(x), где f(x) – ограниченная функция, α(x) ∙ (x),

Свойства бесконечно больших 6 Если функция f(x) – бесконечно большая величина при x→x 0 (или x→∞), то будут бесконечно большими величины: f(x) + φ(x), f(x) – φ(x), где φ(x) – ограниченная функция,

7 Связь бесконечно больших и бесконечно малых Если функция f(x) – бесконечно большая величина при x→x 0 (или x→∞), то функция является бесконечно малой величиной, и наоборот, если α(x) – бесконечно малая величина при x→x 0 (или x→∞), то является бесконечно большой.

8 Сравнение порядков бесконечно малых Если функции α(x) и (x) – бесконечно малые величины при x→x 0 (или x→∞) и то при k=0 α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем (x); при 0

Эквивалентные бесконечно малые 9 Если k=1, то бесконечно малые величины называются эквивалентными: α(x) ~ (x) Примеры эквивалентных бесконечно малых при x→ 0: sin(x) ~x; ex - 1~x; ln(1+x) ~x; (1+x)m ~ 1+mx; 1 - cos(x) ~x 2/2; arcsin(x) ~x; arctg(x) ~x Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти величины заменить им эквивалентными.

Теоремы о пределах 10

Замечательные пределы 11 Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

Вычисление пределов 12 1. Доказать, что По определению для любого >0 найдется такое число S=S( )>0, что для всех x таких, что |x|>S выполняется неравенство

Раскрытие неопределенностей 13 1 тип. Если f(x) и g(x) – степенные функции, то в числителе и знаменателе дроби за скобку выносится x с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби. Если f(x) и g(x) –показательные функции, то за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

пример 14 1 тип.

пример 15 1 тип.

Раскрытие неопределенностей 16 2 тип. А) Необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби. Или Б) И числитель, и знаменатель дроби домножить на одно и тоже выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

пример 17 2 тип.

Раскрытие неопределенностей 18 3 тип. А) Если функция под знаком предела является алгебраической суммой дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2 -му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Б) Если функция под знаком предела является алгебраической суммой иррациональных выражений, то неопределенность устраняется или приводится ко 1 -му типу путем домножения и деления функции на одно и то же выражение (напр. сопряженное), приводящее к формулам сокращенного умножения.

пример 19 3 тип.

Раскрытие неопределенностей 20 4 тип. Выражение под знаком предела является показательно-степенной функцией, в основании следует выделить целую часть дроби, равную 1. Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела»

пример 21 4 тип.

пример 22 4 тип.

Раскрытие неопределенностей 23 5 тип. Функции, которые сводятся к первому замечательному пределу.

пример 24