Основные положения квантовой механики Постулат 1 Волновая

Основные положения квантовой механики

Постулат 1. Волновая функция, ее интерпретация и свойства Волновая функция зависит от координат системы N частиц, т. е. от радиусвекторов r 1, r 2, . . . , r. N и в общем случае от времени t и обозначается

Постулат 1. В квантовой механике состояние системы частиц в любой момент времени полностью описывается волновой функцией.

Волновая функция имеет вероятностную интерпретацию. Это означает, что волновая функция одной частицы определяет вероятность ее нахождения в момент времени t в элементе объема dv= в окрестности точки с координатами x, y, z. А сама вероятность вычисляется как квадрат модуля волновой функции, умноженный на элемент объёма:

Плотность вероятности нахождения системы частиц с волновой функцией в точках с координатами равна а электронная плотность – где е – заряд электрона.

Во всем пространстве переменных волновая функция системы частиц должна обладать такими свойствами как однозначность, непрерывность, дифференцируемость, конечность, квадратичная интегрируемость (условие нормировки).

Постулат 2. Операторы наблюдаемых физических величин В квантовой механике каждой динамической переменной – координате, импульсу, энергии ставится в соответствие линейный эрмитовый оператор. Все функциональные соотношения между величинами, известные из классической механики, в квантовой теории заменяются аналогичными соотношениями между операторами.

Постулат 2. Каждая наблюдаемая динамическая переменная в квантовой механике представляется линейным эрмитовым оператором.

Оператор координаты обозначают Действие оператора на функцию заключается в умножении ее на число х, т. е. Оператор вектора импульса определяется через операторы его проекций:

Действие оператора импульса на функцию имеет вид: где – единичные векторы, орты.

Важнейшим из операторов является оператор Гамильтона (гамильтониан). Чтобы записать выражение для этого оператора, составим функцию Гамильтона как сумму кинетической и потенциальной энергии Оператор кинетической энергии представим через компоненты оператора полного импульса (так называемая импульсная форма): дифференциальную форму оператора кинетической энергии:

Оператор Лапласа или лапласиан: Таким образом, оператор Гамильтона, соответствующий полной энергии квантовомеханической системы , имеет вид:

Постулат 3. Уравнение Шрёдингера Волновая функция квантовомеханической системы должна удовлетворять уравнению Шредингера. Уравнение Шредингера вида называют нестационарным.

Уравнение называется стационарным уравнением Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера как задача на собственные значения Типичная форма одномерного уравнения для частицы с массой m движущейся в одномерном пространстве при наличии поля с потенциалом U(x) Типичная форма трехмерного уравнения для частицы с массой m в поле с потенциалом U(x, y, z)

Постулат 4. Измерения в квантовой механике Если квантово-механическая система находится в состоянии , возникающем в результате суперпозиции собственных функций , то при измерении наблюдаемой физической величины А будет получено одно из собственных значений соответствующего линейного эрмитового оператора. Вероятность того, что при измерении физической величины будет получено значение равна

Вариационный метод Вариационное исчисление – это область математики, в которой рассматриваются методы поиска экстремальных значений (минимума или максимума) функционалов. Функционал представляет собой величину, которая зависит от функции, другими словами, функционал – это «функция от функции» . Сам термин вариация означает изменение (от латинского variatio). В квантовой механике вариационный метод является методом нахождения приближенных волновых функций и соответствующих им энергий.

Метод линейных комбинаций Релея- Ритца. В этом методе пробную функцию строят как линейную комбинацию некоторых базисных функций , т. е. записывают в виде разложения:

Теория возмущений Молекулярные системы часто находятся под воздействием слабых по величине напряженности внешних полей. О таком слабом поле горят как о слабом возмущении. (Примерами являются электрические и магнитные поля световой волны, причем они намного меньше, чем внутриатомные поля. )

Молекулярную систему, находящуюся под воздействием внешнего поля, будем называть возмущенной. Если возмущение мало, то гамильтониан системы связан с гамильтонианом невозмущенной системы посредством оператора возмущения : где – малый параметр.