Основные определения Магистрант 2 года обучения Амелицкая

Основные определения Магистрант 2 года обучения Амелицкая Т. С.

Определение неподвижной точки Пусть f - отображение произвольного множества A в себя. Точка x из A называется неподвижной точкой отображения f, если f(x)=x (1) Когда А R (т. е. когда f – обычная числовая функция), найти неподвижную точку отображения f означает решить уравнение (1).

Примеры 1) Поворот плоскости на ненулевой угол около данной точки имеет единственную неподвижную точку (центр поворота).

Примеры 2) Параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет неподвижной точки. 3) Симметрия плоскости относительно прямой имеет бесконечное множество неподвижных точек (все точки этой прямой) 4) Отображение x ax x+bx+c , где а 0, имеет две, одну или ни одной неподвижной точки в зависимости от знака дискриминанта соответствующего правой части квадратного уравнения.

Сжимающее отображение Пусть (X; ρ1) и (Y; ρ2) - метрические пространства. Отображение f: Х→ Y называется сжимающим отображением, если существует такое число α, 0<α<1, что для любых двух точек х, х' Х выполняется неравенство Число α называют коэффициентом сжатия.

Примеры 1) Гомотетия плоскости с коэффициетом 0

Принцип сжимающих отображений Теорема. Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку

Спасибо за внимание!