Основные определения и свойства матриц 1 Две матрицы

Основные определения и свойства матриц 1. Две матрицы А и В одного и того же размера равны, если равны соответствующие элементы, аi, j = bi, j 2. Вектор – столбец – матрица, состоящая из одного столбца 3. Вектор – строка – матрица, состоящая из одной строки 4. Нулевая матрица – все ее элементы =0; обозначатся Оmxn 5. Квадратная матрица – m=n (число строк равно числу столбцов) 6. Главная диагональ квадратной матрицы – элементы аi, i , лежащие на главной диагонали 7. Треугольная матрица – квадратная матрица, такая, что все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. 8. Единичная матрица Е – все элементы на главной диагонали аi, i =1, остальные элементы равны нулю.

Основные определения и свойства матриц 9. Транспонированная матрица Аt – матрица, полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы с сохранением порядка. 10. Сумма двух матриц C=A+B , А= (аi, j) и В= (bi, j ) одного и того же размера – матрица С = (сi, j ) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц – сi, j= аi, j+ bi, j: C=A-B сi, j= аi, j – bi, j 11. Произведение матрицы на число – все элементы исходной матрицы умножаются на это число. В=2 А (bi, j =2 ai, j ). Очевидное следствие : общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы 12. Произведение двух матриц А и В. Произведение имеет смысл, если число столбцов первого сомножителя (например, А) совпадает с числом строк второго сомножителя (например, В). Пусть А= Rmxn , В= Rnxk, тогда С = АВ = Rmxk.

Основные свойства произведения матриц Операция произведения двух матриц обладает следующими свойствами: 1. (AB)C= A(BC); α(AB)= (αA)B; (A+B)C=AC+BC; 2. (AB)t = Bt At ; 3. AE=EA=A 4. AB ≠BA в общем случае. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными. 5. Квадратную матрицу А можно возвести в квадрат, куб, в к –ую степень, получить Ак 6. А 0 =Е

Основные числовые характеристики квадратных матриц. Определитель 1. Определитель квадратной матрицы Anxn – число, которое вычисляется по определенным правилам Определитель обозначается det или. 2. Основные правила вычисления определителей: 1) Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов 2) Общий множитель строки можно вынести за знак определителя 3) Если к одной из строк прибавить другую строку (к одному из столбцов прибавить другой столбец), то определитель не измениться 4) Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю 5) Если поменять местами две строки (два столбца), то определитель поменяет знак

Основные числовые характеристики квадратных матриц. Определитель 6) Если к строке матрицы прибавить другую строку матрицы, умноженную на число, то определитель не измениться 7) Если матрица имеет две одинаковые строки ( два одинаковых столбца), то определитель равен нулю 8) В общем случае определитель вычисляется разложением по элементам строки (столбца). Для этого вычисляют соответствующие миноры и алгебраические дополнения Запомните: Квадратная матрица, определитель которой равен нулю называется вырожденной. Основные числовые характеристики – след матрицы След матрицы – сумма элементов главной диагонали. Обозначается tr A =