ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Непосредственное интегрирование ОСНОВНЫЕ

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Непосредственное интегрирование

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ - это нахождение интеграла путем преобразования подынтегральной функции в сумму или разность функций и переход к сумме или разности табличных интегралов.

Пример 6. Найти неопределенный интеграл Решение. Вид подынтегральной функции можно менять с помощью тождественных преобразований !!!

Пример 7. Найти неопределенный интеграл Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов. Но!!! Неопределенный интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов. Поэтому все тождественные преобразования подынтегральной функции направлены на то, чтобы преобразовать произведение функций в суммы или разности функций. Для этого нужно просто раскрыть скобки.

Пример 7. (продолжение)

Пример 8. Найти неопределенный интеграл Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов. Но!!! Неопределенный интеграл от отношения функций не равен отношению интегралов. Поэтому все тождественные преобразования подынтегральной функции направлены на то, чтобы преобразовать отношение функций в суммы или разности функций. В данном интеграле для этого нужно просто поделить почленно числитель на знаменатель.

Пример 8. (продолжение)

Пример 9. Найти неопределенный интеграл Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов. Поэтому все тождественные преобразования данной подынтегральной функции направлены на то, чтобы преобразовать её в суммы или разности функций. Для этого нужно просто раскрыть квадрат суммы.

5. Частное правило интегрирования. Пусть известно, что Тогда Это правило упрощает вычисление многих неопределенных интегралов. Например:

Пример 9. (с использованием частного правила интегрирования) Найти неопределенный интеграл Решение. Частное правило интегрирования позволяет быстрее найти неопределенный интеграл в примере 9. Для сравнения выпишем результат, полученный ранее.

5. 1 Другой способ нахождения интегралов вида Замечание. При частном способе интегрирования переменная интегрирования х не изменялась!!! Другой способ интегрирования наоборот предполагает преобразование переменной интегрирования х к виду кх+b. Переменную интегрирования при необходимости можно умножать на любое ненулевое число к. При этом весь интеграл нужно поделить на то же число к (или умножить на обратное число ). К переменной интегрирования можно прибавлять или вычитать любое число без всяких последствий.

7. Интегрирование некоторых дробей, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Вспомним процедуру выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. Пример 10. Найти неопределенный интеграл Решение.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл Методическая рекомендация: если в квадратном трехчлене коэффициент при х2 не равен 1, то выгодно вынести его за скобку и выделять полный квадрат уже внутри скобок. Решение. Выпишем только квадратный трехчлен, стоящий под квадратным корнем и выделим в нем полный квадрат. Вычислим интеграл:

Практика показывает, что процедура выделения полного квадрата из квадратного трехчлена очень трудоемка, если коэффициент при х2 отличен от единицы. Есть способ проще. Пример 11 Решение. Тогда

Вернемся к интегралу у и запишем квадратный трехчлен в знаменателе в новом виде. Использовали табличный интеграл и частное правило интегрирования

8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Тригонометрические формулы, используемые при вычислении интегралов. Универсальная Формулы, преобразующие произведение тригонометрическая единица тригонометрических функций в сумму либо разность Формулы понижения степени Формулы двойного угла

Пример 13. Найти неопределенный интеграл Решение. Вызовем нужную тригонометрическую формулу. Вычислим интеграл:

Пример 14. Найти неопределенный интеграл Решение.

Пример 15. Найти неопределенный интеграл Решение. Вызовем подходящую тригонометрическую формулу. С её помощью преобразуем подынтегральную функцию:

ПРЕЗЕНТАЦИЯ ЗАКОНЧЕНА. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ. Степанова Наталия Вадимовна, к. ф. -м. н. , доцент кафедры математики Во. ГУ