Основные логические операции
• Логика - это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений. В зависимости от набора правил вывода умозаключений, которые признаются правомерными, различается несколько вариантов логики как научной дисциплины: формальная логика, математическая логика, вероятностная логика, диалектическая логика и т. д.
Математическая логика • является одной из частей формальной логики и изучает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить истинны они или ложны. Объектами математической логики являются высказывания (рассуждения). Высказывания делятся на логические утверждения ( простые высказывания) и предикаты. Логическое утверждение- заведомо истинное или ложное высказывание. Иначе говоря, логические константы.
Предикаты • логические высказывания, значения которых могут меняться в зависимости от входящих в них переменных. Иначе говоря, предикаты - это логические переменные.
Алгеброй Буля • называется аппарат, который позволяет выполнять действия над логическими высказываниями. Существуют три основные операции действия с высказываниями: одноместная, называемая инверсией (отрицанием) и две двуместные, называемые по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением. Все операции булевой алгебры определяются таблицами истинности значений. Обозначаются логические высказывания обычно заглавными буквами латинского алфавита. Истинные высказывания для удобства будем обозначать "1", а ложные - "0". Существуют основные логические операции:
конъюнкция • Логическое умножение это соединение двух простых высказываний в одно с помощью союза "И", результат операции логическое произведение. Истинно только тогда, когда истинно А и В одновременно. Обозначение: А^ В, А • В, А и В, А&B.
дизъюнкция • Логическое сложение - это соединение двух простых высказываний в одном с помощью союза "ИЛИ". Полученное высказывание -логическая сумма. Истинно, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложно только тогда, когда предпосылки А и В - ложны. Обозначение : А + В, А v В, А или В.
Отрицание • Логическое отрицание - истинно, когда исходное утверждение ложно, и наоборот. Обозначение: не А, А
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА? Кран А Открыт кран А Кран В И Открыт кран В
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ А – «Сегодня светит солнце» В – «Сегодня идет дождь» «Сегодня светит солнце и идет дождь» Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и» .
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) Обозначение: &, ^, *. Союз в естественном языке: и. А ^ B – «Сегодня светит солнце и идет дождь» Таблица истинности Смысл высказываний А и В для указанных значений А^B А В А^B 0 1 0 Солнца нет Дождь идет Ложь 1 0 0 Солнце светит Дождя нет Ложь 0 0 0 Солнца нет Дождя нет Ложь 1 1 1 Солнце светит Дождь идет Истина Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно.
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА? Кран А Кран В Открыт кран А ИЛИ Открыт кран В
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ А – На стоянке находится «Мерседес» В – На стоянке находится «Жигули» «На стоянка находятся «Мерседес» или «Жигули» Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или» .
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) Обозначение: +, V. Союз в естественном языке: или. А V B – На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули» Таблица истинности Смысл высказываний А и В для указанных значений АVB А В АVB 0 1 1 «Мерседеса» нет «Жигули» есть Истина 1 0 1 «Мерседес» есть «Жигулей» нет Истина 0 0 0 «Мерседеса» нет «Жигулей» нет Ложь 1 1 1 «Мерседес» есть «Жигули» есть Истина Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно.
ЗАПОМНИ! ИЗЪЮНКЦИЯ КОНЪЮНКЦ ИЛИ И V V Д ИЯ
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ А – «Сегодня светит солнце» В – «Сегодня не светит солнце» А – «У данного компьютера жидкокристаллический монитор» В – «Неверно, что у данного компьютера жидкокристаллический монитор» Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…» .
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) Обозначение: ¬. Союз в естественном языке: не; неверно, что… А – «Сегодня светит солнце» ¬ А – «Неверно, что сегодня светит солнце» или «Сегодня не светит солнце» Таблица истинности А ¬А Смысл высказывания А Значение высказывания: «Сегодня не светит солнце» 0 1 Солнца нет Истина 1 0 Солнце есть Ложь Инверсия высказывания истинна, если высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ Обозначение: →. Союз в естественном языке: если…, то…. Если на улице, то асфальт мокрый. Если хорошо горит красный свет на светофоре, то стою и жду зеленый. Если прямо пойдешь, то коня потеряешь. Если коровы летают, то дважды два – пять. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…» .
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) А – «На улице дождь» В – «Асфальт мокрый» А → B – «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» Таблица истинности Смысл высказываний А и В для указанных значений А→B А В А→B 0 1 1 Дождя нет Асфальт мокрый Истина 1 0 0 Дождь идет Асфальт сухой Ложь 0 0 1 Дождя нет Асфальт сухой Истина 1 1 1 Дождь идет Асфальт мокрый Истина Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО Обозначение: =, ↔, ~. Союз в естественном языке: тогда и только тогда, когда…. Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А делится нацело на 2. Прямоугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны равны. Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «… тогда и только тогда, когда…» .
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) А – «Число А - четное» В – «Число А кратно 2» А ↔ B – «Число А – четное, тогда и только тогда, когда число А кратно 2» Таблица истинности Смысл высказываний А и В для указанных значений А ↔B А В А↔B 0 1 0 Число нечетное Число кратно 2 Ложь 1 0 0 Число четное Число не кратно 2 Ложь 0 0 1 Число нечетное Число не кратно 2 Истина 1 1 1 Дождь идет Число кратно 2 Истина Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ Ключ 1 Ключ 2 КАКИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ МОЖНО ПРОДЕМОНСТРИРОВАТЬ С ПОМОЩЬЮ СХЕМ?