Скачать презентацию Основные классы функций интегрируемых в элементарных функциях Интегрирование Скачать презентацию Основные классы функций интегрируемых в элементарных функциях Интегрирование

Лекция 2(Неопр. Интеграл).ppt

  • Количество слайдов: 21

Основные классы функций, интегрируемых в элементарных функциях Интегрирование дробнорациональных выражений Основные классы функций, интегрируемых в элементарных функциях Интегрирование дробнорациональных выражений

Понятие рациональной функции Интегрируемость в элементарных функциях означает, что неопределённый интеграл выражается через основные Понятие рациональной функции Интегрируемость в элементарных функциях означает, что неопределённый интеграл выражается через основные элементарные функции с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций. • Рациональной функцией называется функция вида: где , -целые числа. называется целой рациональной функцией Если , то или многочленом. Если , то называется дробной рациональной функцией или рациональной дробью.

Правильные и неправильные рациональные дроби • Рациональная дробь называется правильной, если , в противном Правильные и неправильные рациональные дроби • Рациональная дробь называется правильной, если , в противном случае ( ) рациональная дробь называется неправильной. • Утверждение: Неправильная рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. • Пример 1: Рассмотрим неправильную рациональную дробь: (здесь 5>2) Далее производя деление многочлена на многочлен получим:

Теорема о представлении рациональной дроби в виде простейших дробей • Теорема (без доказательства): Правильная Теорема о представлении рациональной дроби в виде простейших дробей • Теорема (без доказательства): Правильная рациональная дробь единственным образом представима в виде суммы простейших дробей 4 -х типов: 1) 2) 3) 4) Случаи 3 и 4 характерны для комплексных корней многочлена, стоящего в знаменателе.

Анализ многочлена, стоящего в знаменателе рациональной дроби • Пусть. Разложим многочлен, стоящий в знаменателе Анализ многочлена, стоящего в знаменателе рациональной дроби • Пусть. Разложим многочлен, стоящий в знаменателе рациональной дроби в виде сомножителей, содержащих корни многочлена: где: При этом, множителю в знаменателе сумма следующих простейших дробей: Множителю сумма: соответствует в разложении соответствует

Пример на представление рациональной дроби в виде суммы простейших • Коэффициенты разложения рациональной дроби Пример на представление рациональной дроби в виде суммы простейших • Коэффициенты разложения рациональной дроби в виде суммы простейших дробей находим методом неопределённых коэффициентов: Пример 2: Пусть имеем рациональную дробь Приводя далее к общему знаменателю, сложим дроби: В числителях левой и правой частей стоят равные многочлены, тогда коэффициенты при одинаковых степенях также должны совпадать:

Метод неопределённых коэффициентов В числителе стоят равные многочлены, тогда коэффициенты при одинаковых степенях должны Метод неопределённых коэффициентов В числителе стоят равные многочлены, тогда коэффициенты при одинаковых степенях должны совпадать, т. е. Решая систему алгебраических уравнений, получим значения коэффициентов: А, В, С: Другой способ нахождения неопределённых коэффициентов (эффективен в случае действительных и различных корней многочлена, стоящего в знаменателе): если два многочлена равны, то они равны и при конкретных значениях переменной (здесь принимаем значения переменной равные корням многочлена)

Метод неопределённых коэффициентов Действительно: Пример 3: Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей. Метод неопределённых коэффициентов Действительно: Пример 3: Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей.

метод неопределённых коэффициентов (комбинированный вариант) Первоначально, принимая значения переменной, равные корням многочлена знаменателя, получим метод неопределённых коэффициентов (комбинированный вариант) Первоначально, принимая значения переменной, равные корням многочлена знаменателя, получим соответствующее количество значений коэффициентов. Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему алгебраических уравнений:

метод неопределённых коэффициентов • Окончательно получаем представление исходной рациональной дроби в виде суммы простейших: метод неопределённых коэффициентов • Окончательно получаем представление исходной рациональной дроби в виде суммы простейших: • Пример 4: Представить дробь в виде суммы простейших.

Теорема об интегрируемости рациональной функции • Теорема: Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Теорема об интегрируемости рациональной функции • Теорема: Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. • Любая рациональная функция представима в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби 4 -х типов. Так как интегрируемость многочлена очевидна, то покажем интегрируемость каждой из 4 -х типов рациональных дробей: Рассмотрим эти дроби: 1). 2) 3) 4)

Доказательство теоремы • Покажем интегрируемость дроби типа 3): Представим дробь в виде суммы двух Доказательство теоремы • Покажем интегрируемость дроби типа 3): Представим дробь в виде суммы двух дробей: при этом представляя: т. к. в виде: . , . Тогда исходный интеграл представляется

Интегрируемость дроби 3 типа • Далее интегрирование приводит к следующему результату: Интегрируемость дроби 3 типа • Далее интегрирование приводит к следующему результату:

Интегрируемость дроби 4 типа • Интегрируемость дроби 4 типа основано на рекурентной формуле (которую Интегрируемость дроби 4 типа • Интегрируемость дроби 4 типа основано на рекурентной формуле (которую выводить не будем): где

Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: если n- нечётное, тогда: Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: если n- нечётное, тогда: Далее, открываем скобки и интегрируем. Если n- чётное, то производим понижение порядка: Далее аналогично.

Интегрирование функций класса R(sinx, cosx) Рациональной функцией двух аргументов называется функция вида: , где Интегрирование функций класса R(sinx, cosx) Рациональной функцией двух аргументов называется функция вида: , где - произвольные многочлены от двух аргументов степеней соответственно. • Справедливо Утверждение: Если - рациональная функция от двух переменных, а - рациональные функции одной переменной, то выражение вида: представляет собой рациональную функцию одной переменной. Теорема: Функции класса элементарных функциях. интегрируемы в

Доказательство теоремы • Сделаем подстановку: Где - рациональная функция. . Тогда Доказательство теоремы • Сделаем подстановку: Где - рациональная функция. . Тогда

Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: если n- нечётное, тогда: Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: если n- нечётное, тогда: Далее, открываем скобки и интегрируем. Если n- чётное, то производим понижение порядка: Далее аналогично.

Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: С помощью тригонометрических формул: Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: С помощью тригонометрических формул: преобразуем интеграл от произведения функций в интеграл от соответствующей суммы

Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: Если один из многочленов Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Интегралы вида: Если один из многочленов есть чётная функция по одной из переменной и нечётная по другой, то рекомендуемая замена: Пример 1:

Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Пример 2: • Интегралы вида: С Частные случаи рациональных выражений от тригонометрических функций • Пример 2: • Интегралы вида: С чётными по тригонометрическим функциям многочленами производится замена переменных: приводящая к рациональной подынтегральной функции. Пример 3: