Основные идеи и методы комбинаторного анализа Количественные характеристики

Основные идеи и методы комбинаторного анализа. Количественные характеристики дискретных множеств.

При решении многих практических задач приходится: • Выбирать из элементов заданного множества, элементы, обладающие тем или иным свойством; • Подсчитывать, сколько различных подмножеств (комбинаций) можно составить из конечного числа элементов множества, • Располагать элементы заданного множества в определенном порядке и т. п.

Раздел математики, объектом исследования которого являются дискретные множества произвольной природы называется комбинаторика или комбинаторный анализ Основной задачей комбинаторики является определение числа комбинаций (подчиненных некоторым условиям), которые можно составить из заданной совокупности объектов. Существуют два способа выбора некоторого числа элементв из заданного множества: 1. без повторения и 2. с повторениями. Формулы комбинаторики используются для вычисления вероятности случайного события.

Задача Имеется 5 яблок и 4 груши, все фрукты разных сортов. • Сколькими способами можно выбрать один фрукт? • Сколькими способами можно выбрать пару фруктов?

Один фрукт Два разных фрукта 5 + 4 = 9 способов 5 * 4=20 способов

Основные правила комбинаторики Правило суммы Если некоторый элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – k способами(не такими как элемента а), то выбор “a или b” можно сделать (m + k) способами. Правило произведения Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b – k способами, то совокупность (a; b) можно выбрать (m * k) способами.

ЗАДАЧИ • В студенческой группе обучается 16 юношей и 15 девушек. Сколькими способами можно избрать старосту (либо юношу, либо девушку), если любой студент группы может быть избран на эту должность? • Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число возможных результатов.

ЗАДАЧИ • В студенческой группе обучается 16 юношей и 15 девушек. Сколькими способами можно избрать старосту (либо юношу, либо девушку), если любой студент группы может быть избран на эту должность? Отв. 31 • Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число возможных результатов. Отв. 36

Схемы выбора Пусть дано множество М, состоящее из n различных элементов. Можно составить различные комбинации: из n по n, отличающихся порядком элементов перестановки из n по k, отличающихся составом, либо порядком размещения из n по k, отличающихся составом т. е. хотя бы одним элементом сочетания k<n

Рассмотрим задачу. Сколькими способами можно рассадить n человек на n местах ? При n=1, 2, 3, 4. Решение: Перебор вариантов. 1) n = 1. Число возможных вариантов 1. 2) n = 2. Возможные варианты: 1 2 и 21 , всего их 2. 3) n = 3. Возможные варианты: 123 132 213 231 312 321, всего их 6. 4) n = 4 Возможные варианты: 1234 2134 3124 4123 1324 2314 3214 4213 1432 2431 3421 4321 1243 2341 3142 4132 1342 2143 3241 4231 1423 2431 3412 4312 Всего вариантов - 24.

Факториал числа n - это произведение n первых натуральных чисел: 1 2 3 4 … n = n! Формула для вычисления количества перестановок Pn = 1 2 3 … (n - 2)(n - 1)n Рn = n! По определению 0! = 1 1! = 1

Задача. Сколькими способами можно рассадить n человек на n местах, при n=1, 2, 3, 4. ? Р 1 = 1 Р 2 = 1*2=2 Р 3 = 1*2*3=6 Р 4 = 1*2*3*4=24

Задачи • Задача 1. Сколько вариантов расположения слов допускает предложение «Редактор вчера внимательно прочитал рукопись ? » • Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов ?

• Задача 1. Сколько вариантов расположения слов допускает предложение «Редактор вчера внимательно прочитал рукопись ? » Решение: Р = 5!=1· 2· 3· 4· 5=120 • Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов ? Решение: Р = 6!=1· 2· 3· 4· 5· 6=720

РАЗМЕЩЕНИЯ Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов, тогда каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов , называется размещением из n элементов по k элементов. ( k < n). Формула для вычисления числа размещений

Формула для вычисления числа размещений. Пусть первый элемент размещения выбирается n способами, второй элемент - ( n -1) способами, …, k-ый элемент (n -(k -1)) способами , т. е. можно ввести формулу для числа вариантов А = (n – 1)·(n – 2) …·(n – (k – 1))= (n – 1)·(n – 2) …(n–k+1) где А - число размещений из n по k , n!=1*2*3*…. * n ; В задачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n,

РАЗМЕЩЕНИЯ Задача 1. Сколько существует различных вариантов выбора 4 -х кандидатур на разные должности из 9 -ти специалистов?

Задача 2. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа без повторения цифр из четырех цифр 1, 2, 3, 4 ? Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны?

Задача 2. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа без повторения цифр из четырех цифр 1, 2, 3, 4 ? Ответ: 12. Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны? Ответ: 90.

Сочетаниями из n различных элементов по k называют подмножества, состоящие из k элементов множества, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается Вычисляется по формуле:

• Задача 1. Студент отобрал по каталогу 8 книг. Однако в библиотеке выдают одному читателю не более 5 книг. Сколько у студента существует альтернатив, чтобы взять книги?

• Задача 1. Студент отобрал по каталогу 8 книг. Однако в библиотеке выдают одному читателю не более 5 книг. Сколько у студента существует альтернатив, чтобы взять книги? Отв. 56

Задача 2. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой два раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Задача 2. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой два раза. Сколько матчей играется в течение сезона? С 2 = 153 153* 2 = 306 18

Разные задачи Задача 1 В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?

Задача 1 В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы? С 110 * С 25 = 100 или 10 * С 25 = 100

Задача 2. Сколь различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика» ? (смысл полученных слов не учитывается)

Задача 2. n Решение В слове «комбинаторика» 13 букв. Если бы все они были различны, то, переставляя их, можно было бы получить 13! слов. Но в нашем слове буквы к, о, и, а встречаются по два раза. Тогда слова, отличающиеся перестановкой букв содержащие букву «к» - одинаковые, так что 13!/2!. Но эта совокупность также разбивается на пары одинаковых с точки зрения буквы “о„ слов и т. д. n 13! Ответ: = = —. 2!2! 16

САМОСТОЯТЕЛЬНО Выпишите в тетрадь формулы подсчета количества комбинаций элементов по схемам выбора, приводящим к размещениям, сочетаниям, перестановкам с повторениями