Основные формулы теории вероятностей
Операции над событиями n Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы из двух событий: либо А, либо В, либо А и В одновременно. А В
Операции над событиями n Произведением событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении А и В. А В
Теорема сложения вероятностей Вероятность появления какого-либо из двух событий (суммы событий) равна: n если события А и В несовместны P(A + B) = P(A) + P(B); n если А и В совместны P(A + B) = P(A) + P(B) - Р(АВ)
Задача 1. n n n В лотерее участвуют 1000 билетов. Из них на 1 билет падает выигрыш 5000 руб. , на 10 билетов – выигрыши по 1000 руб. , на 50 билетов – выигрыши по 200 руб. , на 100 билетов – выигрыши по 50 руб. , остальные билеты – невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 200 руб. Рассмотрим события: А 1 – выиграть 200 руб. ; А 2 – выиграть 1000 руб. ; А 3 – выиграть 5000 руб. А – выиграть не менее 200 руб. , значит, А=А 1+А 2+А 3 События А 1, А 2, А 3 являются несовместными, поэтому по теореме сложения вероятностей P (A) = P (A 1 + A 2 + A 3) = P(A 1) + P(A 2) + P(A 3) = = 0, 05 + 0, 01 + 0, 001 = 0, 061
Задача 2 n n n Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0, 8, а для второго – 0, 7. Найти вероятность поражения мишени, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Пусть A 1 – попадание первого стрелка, А 2 - второго стрелка, А – поражение мишени; А=А 1+А 2. Если применить теорему сложения вероятностей для совместных событий, то получим: P (А) = P (A 1+А 2) = P(A 1) + P(А 2) – P (A 1 А 2) = = 0, 8 + 0, 7 – 0, 56 = 0, 94
Следствия из теоремы сложения n Множество несовместных событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится одно и только одно из них. n Следствие 1. Пусть события А 1, А 2, …Аn составляют полную группу событий, тогда P (A 1) + P (A 2) + … + P (An) = 1 или
Следствия из теоремы сложения n Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта непоявления события А означает появление n Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: P (A) + P ( А ) = 1 или А А P (A) = 1 – P ( А )
Задача 3 Круговая мишень состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0, 15; во вторую – 0, 23; в третью – 0, 17. Найти вероятность промаха. n Обозначим события: А 1 – попадание в первую зону, А 2 – попадание во вторую зону, А 3 – попадание в третью зону. А – попадание в мишень, – промах, n Согласно теореме сложения вероятностей, P(A) = P(A 1+A 2+A 3) = P(A 1) + P(A 2) + P(A 3) = = 0, 15 + 0, 23 + 0, 17 = 0, 55. n Согласно следствию 2 из теоремы сложения вероятностей n
Обобщение теоремы сложения Вероятность появления суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B+…+К) = P(A)+P(B)+…+Р(К); n Вероятность появления суммы конечного числа совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения событий, противоположных данным: P(A+B+…+К) =1 - P (¯A∙¯B∙…∙¯К); n
Задача 4 n n Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0, 3; 0, 4; 0, 6; 0, 7. Обозначим А – разрушение моста, Аi – попадание i-ой бомбы, тогда А = А 1 + А 2 + А 3 + А 4. n События А 1, А 2, А 3, А 4 совместны, значит, n По условию Р(А 1)=0, 3; Р(А 2)=0, 4; Р(А 3)=0, 6; Р(А 4)=0, 7, тогда n Итак, Р(А) = 1 – 0, 7 0, 6 0, 4 0, 3 = 1 – 0, 0504 = 0, 9496.
Условная вероятность n n Пример: Рассмотрим два события, происходящих при бросании двух монет: А – появление герба на первой монете, B – появление герба на второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие B или нет, т. е. событие А не зависит от события B. Говорят, что событие А является независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие B или нет.
Условная вероятность Пример: В урне – два белых шара и один черный. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассмотрим следующие события: А – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека, Вероятность события А равна P (A) = ⅔. Вероятность события B при условии, что событие А произошло, равна ½. Если А не произошло, то вероятность В равна 1. Здесь событие B зависит от события А.
Условная вероятность n n Событие B называется зависимым от события А, если вероятность события B меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет. Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место другое событие А, называется условной вероятностью события B и обозначается PA(B) или Р(А|В). PA(B) = P (B) – условие независимости события B от события А PA(B) P (B) – условие зависимости событий.
Теорема умножения вероятностей Для двух событий А и В вероятность их совместного появления (произведения событий) равна n если А и В зависимы, то P(A∙B) = P(A) ∙ PA(B) или P(A∙B) = P(B) ∙ PB(A) n если А и В независимы, то Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р(В),
Обобщение теоремы умножения n Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности других, вычисленных в предположении, что все предыдущие события произошли: Р(АВС…КL) = Р(А) ∙ РА(В) ∙ РАВ(С) ∙…∙ РАВС…К(L) n Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ…КL) = Р(А) ∙ Р (В) ∙ Р (С) ∙…∙ Р (L)
Формула полной вероятности n n - Пусть событие A может произойти в результате осуществления одного и только одного события (i=1, 2, . . . n) из полной группы попарно несовместных событий. Эти события называются гипотезами. Теорема. Вероятность события A равна сумме вероятностей всех гипотез, умноженных на соответствующие условные вероятности данного события A: формула полной вероятности, где
Задача 5 n n n В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о цвете находившихся в урне шаров. Возможны следующие гипотезы: Н 1 - в урне один белый шар; Н 2 - два белых шара; Н 3 - три белых шара. Поскольку все гипотезы равновероятны, и они образуют полную группу, то Р(Н 1) = Р(Н 2) = Р(Н 3) = 1/3. Пусть событие A - из урны извлечен белый шар. Вероятность извлечь из урны белый шар, если он единственный РН 1(А)=1/3; если их два, то РН 2(А)=2/3; если все шары белые, то РН 3(А)=3/3=1. По формуле полной вероятности
Формула Байеса n n n Пусть событие A может произойти только с одной из гипотез Нi, образующих полную группу. Событие А произошло, и необходимо произвести переоценку вероятностей гипотез. Гипотезы до проведения опыта называют априорными, после опыта – апостериорными. Формула Байеса или
Задача 6 n n В условиях предыдущего примера из урны извлечен белый шар. Это событие привело к переоценке априорных вероятностей рассматриваемых гипотез. Найдите апостериорные вероятности гипотез. В решении задачи 6 получено Р(А)= 2/3. Тогда
Повторные независимые испытания
Схема Бернулли Если вероятность наступления события A в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события A. n Пусть проводится серия из n независимых испытаний. Вероятность появления события А ровно в m из них обозначается n
Схема Бернулли Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если: n каждое испытание имеет только два возможных исхода: появление события А называют успехом, непоявление А – неудачей. n вероятности успеха и неудачи одинаковы во всех испытаниях: обозначают вероятность успеха p, вероятность неудачи q=1 -p.
Формула Бернулли n Теорема: если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит m раз в n независимых испытаниях, равна - формула Бернулли. n Применяется при небольших значениях n (n<10)
Задача 7 n n n Тест содержит 10 вопросов. На каждый вопрос приведено 2 ответа, один из которых правильный. Какова вероятность получения не менее 80% правильных ответов при простом угадывании? Событие А –выбор правильного ответа. Вероятность выбора правильного ответа р=0, 5, неправильного – q=0, 5. Событие В – выбор не менее 8 правильных ответов из 10 вопросов. По формуле Бернулли
Формула Пуассона n Теорема: если вероятность p наступления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа n испытаний , причем произведение стремится к постоянному числу λ , то вероятность того, что событие A появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству
Формула Пуассона n При условии можно пользоваться приближенной формулой Пуассона где - функция Пуассона. n Значения функции Пуассона приведены в соответствующих таблицах.
Задача 8 n Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0, 005. Найти вероятность того, что в наборе будет допущено 6 ошибок. n По условию n=1200; m=6; p=0, 005. Так как n достаточно велико, p - мало (np=6=λ), то вероятность указанного события можно найти по формуле Пуассона. (табличное значение для λ=6)
Формула Муавра-Лапласа n Локальная теорема Муавра–Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом в испытании постоянна, и отлична от 0 и 1, то вероятность при достаточно большом числе n, приближенно равна где - функция Гаусса при
Формула Муавра-Лапласа n n n Приближенные значения вероятности, задаваемые локальной формулой, на практике используются как точные при условии Значения функции Гаусса приведены в соответствующих таблицах. Свойства функции : ¨Функция - четная, т. е. ¨Функция - монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при
Схема Бернулли n Пусть проводится серия из n независимых испытаний. Вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно) обозначают
Формула Муавра-Лапласа n Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом в испытании постоянна, и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n вероятность приближенно равна где при - функция Лапласа
Формула Муавра-Лапласа n n n При выполнении условия дает удовлетворительную точность. Функция табулирована. Свойства функции : ¨ - нечетная, т. е. ¨ - монотонно убывающая для положительных x, при (на практике при ).
Задача 9 n n Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов. а) По условию р=0, 5. Вычисляем Т. к. n=400 достаточно велико (условие выполнено) то применим локальную формулу Муавра – Лапласа. Найдем
Задача 9 б) Вычисляем n Используем интегральную формулу Муавра-Лапласа n
Наивероятнейшее число Число m 0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события по крайней мере не меньше вероятностей событий при любом m. n m 0 – целое число, удовлетворяющее неравенству n если - целое, то наивероятнейших чисел два: n
Задача 10 n n Вероятность изготовления стандартной детали станком-автоматом равна 0, 8. Найти наивероятнейшее число бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа. По условию р=0, 2, q=0, 8. По формуле Единственное целое число, удовлетворяющее неравенству, m 0=1, а его вероятность
Скачать презентацию Основные формулы теории вероятностей Операции над событиями
Формулы теории вероятностей.ppt