Основні ймовірнісні розподіли @ Я. Притула 1

Основні ймовірнісні розподіли @ Я. Притула 1

Біноміальний розподіл Якщо випадкова величина приймає лише два значення (тобто або подія настає з ймовірністю р, або не настає з ймовірністю (1 -р)) і повторюється n разів, то випадкова величина Х, що рівна кількості разів настання подій має біноміальний розподіл. Важливим є незалежність послідовності повторів. Мат. сподівання біноміального розподілу = p*n Стандартне відхилення біноміального розподілу = Ймовірність того, що при n спробах буде рівно k успіхів: В Excel: =БИНОМРАСП чи =BINOMDIST, формально де @ Я. Притула 2

Біноміальний розподіл: приклад Обладнання, що ви виробляєте, через специфіку технології може бути бракованим з ймовірністю 0. 05. Через місяць ви повинні поставити замовнику 20 одиниць обладнання, причому брак може бути виявленим лише після встановлення. Це важливий для вас клієнт і ви не хочете його підвести, тому вирішуєте відправити замовнику більшу кількість обладнання, щоб при необхідності замінити брак. Скільки штук обладнання оптимально відправити замовнику аби гарантувати 99% якість обладнання? @ Я. Притула 3

Біноміальний розподіл: приклад Ймовірність браку однієї одиниці обладнання = 0. 05, тобто воно справно працює з ймовірністю 0. 95 Якщо ви вирішете відправити лише 20 штук, то ймовірність того, що всі вони справно працюватимуть: =BINOMDIST(20; 0. 95; 0) @ Я. Притула 4

Біноміальний розподіл: приклад Якщо відправити 21 штуку, то ймовірність якісної роботи 20 шт обладнання буде рівна: Р(Х>=20)=P(X=20)+P(X=21)= =BINOMDIST(20; 21; 0. 95; 0)+BINOMDIST(21; 0. 95; 0)= =0. 37641+0. 340562=0. 716972, мало. . Для 22 шт. відповідний показник буде = 0. 905177 Для 23 шт. відповідний показник буде = 0. 974185 Для 24 шт. відповідний показник буде = 0. 994025 @ Я. Притула 5

Нормальний розподіл Найбільш поширеним є нормальний розподіл, що характеризує випадкову величину з великою кількістю факторів впливу, де жоден фактор не має вирішального значення. Нормальний розподіл повністю характеризується через математичне сподівання та стандартне відхилення: @ Я. Притула 6

Стандартний нормальний розподіл – це нормальний розподіл з математичним сподіванням 0 і стандартним відхиленням 1. Ми будь-який нормальний розподіл Х з параметрами можемо перевести в стандартний нормальний розподіл Z таким перетворенням Часто необхідно працювати з стандартним нормальним розподілом. @ Я. Притула 7

Нормальний розподіл Загальна площа під графіком нормального розподілу рівна 1, тому ймовірність попадання випадкової величини в певний інтервал рівна площі під графіком розподілу над цим інтервалом. Для обчислення значень площі використовуватимемо Excel формулу =NORMDIST чи =НОРМРАСП Обернена функція, що за відомої площі (ймовірності) шукає відповідні значення випадкової величини: =NORMINV чи =НОРМОБР Приклад. Обсяг продаж в цьому кварталі склав 21 300 000 грн і перевищив прогноз, що був на рівні 18 000. На наступний квартал обсяг продаж прогнозується на рівні 20 000 з стандартним відхиленням 3 000. Яка ймовірність, що наступний квартал буде дійсно невдалим і продажі будуть менші ніж 15 000. @ Я. Притула 8

Нормальний розподіл: приклад З умов, маємо найбільш ймовірне значення обсягів продаж, мат. сподівання = 20 000. Станд. відхилення = 3 000. Треба знайти Р(Х<15 000)= =NORMDIST(15000000; 20000000; 3000000; 1)=0. 0478. Якщо б ми хтіли знати ймовірність значення обсягів продаж у розмірі від 16 000 до 23 000, то робимо таке P(16 000

Розподіл Пуасона подібно до біноміального розподілу дозволяє обрахувати ймовірність настання певної кількості подій, різниця в тому, що для розподілу Пуасона нам не потрібно знати кількості спроб n (тобто можна вважати, що їх є нескінчено багато). Випадкові величини, що мають розподіл Пуасона: • кількість замовлень, отриманих за день; • кількість дефектів в виробленій продукції; • кількість клієнтів, що завтра прийде. Для розподілу Пуасона ймовірність того, що випадкова величина з середнім значення буде рівна а дорівнює В Excel це формула: =POISSON чи =ПУАССОН. @ Я. Притула 10

Розподіл Пуасона: приклад Ви продаєте товар з гарантією. В середньому щотижня ви отримуєте 7 одиниць товару для заміни певної частини по гарантії. Для заміни ви на початку кожного тижня замовляєте запчастини у виробника. Скільки потрібно замовити запчастин на наступний тиждень, щоб з ймовірністю помилки 5% виконати гарантійний ремонт вчасно? Маємо, і нам треба знайти таку найменшу кількість випадків (поломки) а, щоб. Обчислимо цю ймовірність для а=1, 2, . . . Поки не знайдемо те що потрібно: Для а=12 формула є така: =POISSON(12; 7; 1) @ Я. Притула 11

Експоненціальний розподіл Розподіл Пуасона дозволяв обрахувати ймовірність настання певної кількості подій, експоненціальний розподіл дозволяє оцінити час між настаннями цих подій. Приклад таких випадкових величин: • Проміжок часу між приходом нового клієнта. • Час обслуговування одного клієнта. • Період справної роботи устаткування, товару, . . . Ймовірність того, що експоненціально розподілена випадкова величина з середнім значенням буде менша за а дорівнює Для знаходження @ Я. Притула в Excel використовуємо функцію: =EXP 12

Експоненціальний розподіл: приклад Час обслуговування одного клієнта дорівнює 1 год. Припустимо, що середня частота приходу клієнтів є 1 клієнт на годину. Скільки треба мати працівників, щоб з ймовірністю 85% гарантувати, що час очікування буде менше 15 хв = 0. 25 год. Один працівник обслуговує одного клієнта. @ Я. Притула 13

Експоненціальний розподіл: приклад Маємо. Оскільки наша ймовірність = 0. 85, то ймовірність помилки = 0. 15, що відповідає часу очікування приблизно 10 хв= 0. 16 год. Тобто Тоді після приходу першого клієнта (і, відповідно, зайнятості першого працівника) ми можемо 10 хв + 15 хв не обслуговувати наступних, далі другий працівник починає працювати з наступним клієнтом і ми знов 10 хв + 15 хв не обслуговуємо (починаючи з 11 -ї хвилини), далі стає до роботи третій працівник і знов 10 хв + 15 хв не обслуговуємо (починаючи з 21 -ї хвилини), . . . і т. д. допоки вже звільниться перший працівник. @ Я. Притула 14