Основная задача линейного программирования Лекция 2 n

Основная задача линейного программирования. Лекция 2

n Пусть дана система линейных алгебраических уравнений: (1) линейная форма: (2)

Формулировка основной задачи ЛП n n n Требуется: среди всех неотрицательных решений системы (1) выбрать такое, при котором форма (2) принимает наименьшее (наибольшее) значение. Система (1) называется системой ограничений данной задачи. Всякое неотрицательное решение системы (1) называется допустимым решением или планом.

Оптимальный план n n Неотрицательное решение системы (1), минимизирующее форму (2) называется оптимальным решением или оптимальным планом. В дальнейшем будем полагать. В случае, если система ограничений задачи Л. П. состоит из системы неравенств, то она сводится к системе ограничений, состоящей из равенств, т. е. к системе (1).

Цель задачи ЛП n Очевидно, что форма достигает наибольшего значения при тех, же самых значениях неизвестных при которых форма достигает своего наименьшего значения. Тем самым задача максимизации сводится к задаче минимизации.

Сведение системы ограничений в виде неравенств к системе ограничений в виде равенств n Пусть среди ограничений задачи имеется некоторое неравенство: Введём новую так называемую добавочную неизвестную, связанную с уже имеющимися неизвестными: (3) (4)

Вывод: n Т. о. неравенство (3) эквивалентно ограничению- равенству (4). Ценой введения добавочных неизвестных в система ограничений неравенств сводится к системе ограничений-равенств, при этом число добавочных неизвестных равно числу ограничений-неравенств.

Пример из задачи 1 n Рассмотрим систему ограничений: Вместо максимизации формы будем минимизировать форму.

Основная задача Л. П. с ограничениями-неравенствами n Рассмотрим систему (1) и линейную форму (2). Пусть , тогда неизвестных линейно выражаются через остальные неизвестных, последние принято называть свободными. Всегда можно занумеровать неизвестные так, чтобы последние выражались через первые:

Основная задача Л. П. с ограничениями-неравенствами n Т. о. базисные выражаются через свободные: (5) Система (5) эквивалентна системе (1). Если теперь вместо величин в выражение линейной формы (2) подставим их значения из системы (5), то получим:

Основная задача Л. П. с ограничениями-неравенствами n Систему неравенств и соответствующую линейную форму: (6) (7)

Основная задача Л. П. с ограничениями-неравенствами n n Данная система (7) содержит неизвестных. Каждому допустимому решению системы (5)отвечает решение системы неравенств (7) и наоборот. Т. о. пришли к следующей математической задаче: дана система неравенств (7), содержащая n-линейных неравенств относительно k неизвестных и линейная форма (6). Требуется: среди всех решений (7) выбрать такие, при котором форма (8) достигает наименьшего значения. Т. е. необходимо найти оптимальный план.

Основная задача Л. П. n n Эта задача Л. П. называется основной задачей Л. П. с ограниченияминеравенствами. (Задача «А» ). Рассмотрим задачу Л. П. на примере задачи 1:

Геометрическое истолкование задачи Л. П. n Введём на плоскости прямоугольную систему координат. Известно, что геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств, образует выпуклый многоугольник. Этот многоугольник называется многоугольником решений данной системы неравенств.

Геометрическое истолкование задачи Л. П. n Стороны этого многоугольника располагаются на прямых, уравнения которых получаются, если в системе неравенств рассматривать случай равенств:

Геометрическое истолкование задачи Л. П. n Схематическое изображение:

Выводы n Т. о. если оптимальное решение задачи Л. П. существует и единственно, то оно достигается в некоторой вершине многоугольника решений. Если оптимальное решение не единственно, то таких решений бесчисленное множество и они достигаются во всех точках некоторой стороны многоугольника решений. Т. о. всегда найдётся вершина многоугольника решений, в которой достигается оптимальное решение.

Замечание: n Если число переменных в системе неравенств более 2 -ч, то геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, называется многогранником решений. Грани этого многогранника, расположенные на плоскостях, уравнения которых получаются из системы неравенств. Многогранник получается как результат пересечения полупространств, определяемых соответствующими плоскостями. Уравнение определяет плоскость в пространстве, которая называется поверхностью уровня (поверхность равных значений F)

Выводы: n n n Вектор нормали указывает на направление возрастания значений на поверхности уровня. Теорема 1. Если оптимальное решение задачи А существует, то оно достигается на некоторой вершине многогранника (многоугольника) решений. Теорема 2. Для существования оптимального решения задачи Л. П. (А) чтобы многогранник решений содержал хотя бы одну точку, т. е. система обладала по крайней мере одним решением и форма бы на нём ограничена снизу.