ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Определение Симметрия

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Определение Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Осевая симметрия Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно данной прямой.

а Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой А В а также принадлежит этой фигуре.

Фигуры, обладающие одной осью симметрии Угол Равнобедренный треугольник Равнобедренная трапеция

Фигуры, обладающие двумя осями симметрии Прямоугольник Ромб

Фигуры, имеющие более двух осей симметрии Квадрат Равносторонний треугольник Круг

Фигуры, не обладающие осевой симметрией Произвольный Параллелограмм треугольник Неправильный многоугольник

Построение точки, симметричной данной отрезка, симметричного данному треугольника, симметричного данному

Построение точки, симметричной данной с 1. АО с 2. АО=ОА 1 А О А 1 Определение

Построение отрезка, симметричного данному В с 1. АА 1 с, АО=ОА 1. O 1 2. ВВ 1 с, А ВО 1=О 1 В 1. 3. А 1 В 1 – искомый O отрезок. В 1 А 1 Определение

Построение треугольника, симметричного данному В 1. AA 1 c AO=OA 1 с 2. BB 1 c BO 1=OB 1 D O 1 А 3. DD 1 c DO 2=O 2 D 1 O 2 O 4. A 1 B 1 D 1 – D 1 искомый В 1 треугольник. А 1 Определение

Осевая симметрия является движением, а движение – это отображение плоскости на себя. Следовательно, осевая симметрия обладает важным свойством – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Докажем, что осевая симметрия является : движением 1. Введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Oy совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (x; y; z ) и М (x 1 ; y 1; z 1) симметричных относительно оси Оy. 1 2. Если точка М не лежит на оси Oy, то ось Oy: 1) проходит через середину отрезка ММ 1 2) перпендикулярна к нему 3. Из 1) следует, что х+х1=0 и z+z 1=0 х 1 =-х, z 1 =-z 2 2 Из 2) следует, что аппликаты точек М и М 1 равны: y =y 1 Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси Oy.

1) Рассмотрим теперь любые две точки А (x 1 ; y ; z 1) и 1 В (x 2; y ; z ) и докажем, что расстояние между 2 2 симметричными им точками А 1 и В 1 равно АВ. 2) Точки А 1 и В 1 имеют координаты А (-x ; -y ; z 1 ), 1 1 1 В 1 (-x 2 ; -y 2 ; z 2 ) По формуле расстояния между двумя точками 1 находим: АВ= (x 2 - х1)2 + (у2 - у1 )2 + (z 2 - z 1 ) 2 2 2 2 А 1 В 1 = (-х2 + х1 ) + (-у + у1) + (z 2 - z ) 2 1 Из этих соотношений ясно, что АВ=А 1 В 1 ч. т. д.