Ортогональность собственных функций: случай наличия вырождения • Напомним, что
Теорема • Произвольная линейная комбинация собственных функций некоторого оператора, принадлежащих одному собственному значению, также является собственной функцией этого оператора, принадлежащей тому же собственному значению. • F ik = fi ik (k=1, 2, …n)
Ортогонализация по Шмидту • Интегралы перекрывания (неортогональности) • Будем строить новый набор функций , руководствуясь следующим алгоритмом. В качестве функции 1 возьмем функцию 1. Функцию 2 представим в виде линейной комбинации 1 и 2: 2 = 2 S 12 1.
Ортогонализация по Лёвдину
Функции образуют ортонормированный набор
Пример: молекула водорода • Межатомное расстояние – 0. 074 нм • S=0. 654 • Матрица S :
Вид ортогонализированных функций • 1=1. 238*1 s(H 1) 0. 465*1 s(H 2) • 2=1. 238*1 s(H 2) 0. 465*1 s(H 1)
Теорема полноты. • Собственные функции эрмитового оператора образуют полный базис, то есть любая функция от тех же переменных, подчиняющаяся тем же граничным условиям, может быть представлена в виде разложения по этим собственным функциям.
Теоремы о собственных функциях коммутирующих операторов. • Если два оператора имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют. • Если два оператора коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций.
Задачи • Проверить ортогональность и нормировку полученных ранее левдинских функций для молекулы водорода • Проверить ортогональность и нормировку первых двух функций, ортогонализованных по Шмидту
Скачать презентацию Ортогональность собственных функций случай наличия вырождения Напомним
Кванты Lecture_2.ppt