«Организация устной работы при решении уравнений с параметром в курсе математики основной школы» 2014 г. Серевко Ирина Дмитриевна, учитель высшей категории, «Старший учитель» Армянского УВК школы-лицея № 2
Цель устной работы при решении уравнений с параметром: 1) 2) Разнообразие и активизация мыслительной деятельности учащихся. Достижение поставленных целей урока. Задачи: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Развивать интерес учащихся к задачам с параметром; Включать в работу всех учащихся; Развивать внимание, вариативность мышления; Способствовать глубокому пониманию программного материала; Стимулировать поиск рациональных способов решения; Воспроизводство, корректировка и контроль состояния знаний умений и навыков учащихся.
Требования к проведению устной работы при решении уравнений с параметром: • Уравнения для устного счёта выбираются не случайно, а централизованно. • Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть лёгкими, но и не должны быть «громоздкими» . • Тексты упражнений, если требуется, должны быть приготовленные заранее. • К устному счёту должны привлекаться все учащиеся.
Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Решение уравнений с параметрами является одним из наиболее сложных и интересных разделов математики, которой развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знание учащихся полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований. Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям искомых школьных и вступительных экзаменов.
Решение линейных уравнений с параметрами Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В 5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.
5 класс 1) При каком натуральном значении a верно равенство? а) a+7=7+5; б) 3·a=8· 3 2) При каких натуральных значениях в деление 28: в выполнено без остатка? 3) При каких натуральных значениях в при делении 16: в в остатке получится 1? 4) При каких натуральных значениях с верно неравенство 12 с<100? 5) При каких натуральных p верно неравенство 12<5 p<50? Задания подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной форме, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы в качестве развивающего плана.
5 класс В теме «Решение уравнений» ребята знакомятся с определением понятия «корень уравнения» , вызывает интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующие задания: Укажите значение а при котором число 5 является корнем уравнения a·x=20. Решение. Если число 5 – корень уравнения ax=20, то равенство будет верным a· 5=20 a=20: 5 a=4 Ответ: при a=4 число 5 – корень уравнения ax=20
5 класс Полезно в 5 классе так же устно решать простейшие линейные уравнения, знакомящие учащихся с параметрами. Предложим учащимся найти корни этих уравнений при различном значении а. Решите уравнение относительно x: 1) x+a=0 Решение. x=-a , при любом значении а. Ответ: x=-a, при любом значении а. 2) 3 x+a=0 Решение. 3 x = - a, , при любом значении а. Ответ: , при любом значении а.
6 класс При изучении темы «Обыкновенные дроби» в курсе математики 6 класса в устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие запоминанию понятий «правильная» и «неправильная» дроби, умению сокращать дроби. 1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной? 2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной? 3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима? 4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?
6 класс В заключении изучении темы «Действия с рациональными числами» на уроках математики в 6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида 1) 0·x=a; 2) b·x=0. 1) При каких значениях a уравнение 0·x=a не имеет решений? При каких значениях a уравнение 0·x=a имеет бесконечное множество решений? 2) При каких значениях b уравнение b·x=0 имеет бесконечное множество решений? При каких значениях b уравнение b·x=0 не имеет решений?
6 класс На занятиях по математике в 6 классе можно устно решать уравнения с параметрами: 1)ax=6; 2) ax+3=0; 3) (a – 1)x=8, 3 4) bx= – 5 5) a. Ix. I+3=0 Сначала для этого предложим учащимся найти переменную x. Тогда предложите найти корень уравнения при а=0, а далее проанализируйте от чего зависит решение уравнения. 1) ax=6. Решение. При a≠ 0 x= При a=0 0·x=6 корней нет. Ответ. При a≠ 0 x= ; при a=0 корней нет. 2) ax+3=0. Решение. При a=0 0·x+3=0 корней нет. При a≠ 0 x= Ответ. При a≠ 0 x= ; при a=0 корней нет. 3) (a – 1)x=8, 3. Решение. При a=1 (1 -1)·x=3, 8 0·x=3, 8 корней нет. При a≠ 1 Ответ. При a=1 корней нет; при a≠ 1
6 класс Решите уравнения относительно x: 4) bx= – 5. Решение. При b=0 0·x=-5 корней нет. При b≠ 0 x= Ответ. При b≠ 0 x= ; при b=0 корней нет. Решение следующего уравнения требует анализа с использованием определения модуля. Таким образом формируется осмысление того, что уравнение Ix. I=b имеет корни только при b≥ 0 5) a·Ix. I+3=0. Решение. При a<0 a·Ix. I=-3, Ix. I= >0, Ix. I>0. Значит, x= При a≥ 0 Ix. I= ; <0. Следовательно, корней нет. Ответ. При a≥ 0 корней нет. При a<0 x=±
7 класс Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы «Решение линейных уравнений» . В устной работе повторяются решения уравнений 0·x=5; 6·x=0; 0·x=0; a·x=0; 0·x=b; c·x=7. Далее можно семиклассникам предложить решить уравнения по алгоритму: сначала рассмотрим при каком значении параметра а коэффициент перед переменной х равен нулю, далее рассмотрим уравнение при других значениях параметра.
7 класс Решите устно уравнение относительно x: 1)аx – 3 а=0. Решение. ах=3 а При a=0 0·x=3· 0 х- любое число. При a≠ 0 x= х=3 Ответ. При a≠ 0 x= 3; при a=0 х- любое число. 2) ax+а+3=0. Решение. а·х=-(а+3) При a=0 0·x= - (0+3), корней нет. При a≠ 0 x= Ответ. При a≠ 0 x= ; при a=0 корней нет. 3) (a+3)x+а=0. Решение. (а+3)·х= - а При a= - 3 (-3+3)·x+3=0 0·х=3, корней нет. При a≠ - 3 x= Ответ. При a= - 3 корней нет. При a≠ 0 x= . ;
8 класс Изучение темы «Действия с алгебраическими дробями» позволяет углубить устную работу с учащимися по выборке их умений проводить анализ решения, формировать у учащихся понимание условия дроби равной нулю. Решение. При а=0 корней нет. При а≠ 0 x=-3 Ответ. При а≠ 0 x=-3; при а =0 корней нет. Решение. При а=0 При а≠ 0 x=-a. Ответ. При а=0 корней нет; при а≠ 0 x=-a. корней нет.
8 класс Устное решение квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы. Обучение решению квадратных уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе с устного счёта, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы «Решение квадратных уравнений» . Учащиеся знакомятся с понятием «дискриминант» , учатся находить количество корней квадратного уравнения в зависимости от его значения.
8 класс Решите уравнение относительно х: Неполное квадратное уравнение начинаем в случае а=0, затем решаем уравнение при а≠ 0. 1) ах²=0 Ответ. х=R при а=0; х=0 при а≠ 0 2) ах²=а Ответ. х=R при а=0; х=± 1 при а≠ 0 3) ах²= - а Ответ. х=R при а=0; х=Ø при а≠ 0 4) ах²+2 х=0 х(ах+2)=0 Ответ. х=0 при а=0; х=0 и х= при а≠ 0 5) х²+2 ах=0 х(х+2 а)=0 Ответ. х=R при а=0; х=0 и х= - 2 а при а≠ 0
8 класс В следующем уравнении при устном счёте сначала рассматриваем случай, когда старший коэффициент равен нулю – формируем такой навык работы с квадратным уравнением с параметрами. Формируем навыки устного решения квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета. ах² – 3 ах – 4 а=0 Решение. а(х² – 3 х – 4)=0 а(х – 4)(х + 1)=0 При а=0 х= R, При а≠ 0 х= - 1, х=4 Ответ. При а=0 х= R, При а≠ 0 х= - 1, х=4
8 класс Можно рассматривать устно и такие примеры: 1) При каких значениях m уравнение x²- 3 x-2 m=0 не имеет действительных корней? Решение. x²- 3 x-2 m=0 так квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательное значение: D=9+8 m; 9+8 m<0; Ответ. При уравнение не имеет действительных корней. 2) При каких значениях а уравнение х²+5 х+10 а=0 имеет два действительных корня. 3) При каких значениях b уравнение х²+bх+4=0 имеет один действительный корень?
9 класс Девятиклассникам кроме ранее описанных примеров можно ещё предложить решить устно уравнения повторяющие определения арифметического квадратного корня и тем самым формируем навыки решения простейших иррациональных уравнений, а главное – формируем умение анализировать уравнение, то есть определять условие, при которых уравнение имеет корни.
9 класс Примеры: Решите уравнения относительно х: 1) Ответ. При а<0 корней нет. При а≥ 0 x=а² 2) Решение. Так как а²≥ 0 то ; Ответ. x=а+1, при а=R при любом значении а 3) Ответ. При а=0 х= - 2, при а≠ 0 корней нет
9 класс 4) Решение. Поскольку умножили на параметр, то сначала рассмотрим случай а=0. Получим уравнение Далее обязательно нужно обеспечить учащимся почему корнями уравнения является , то есть вспоминаем область определения функции Ответ. При а=0 х≥ 0 При а≠ 0 x=0.
9 класс Знакомим учащихся с понятием области допустимых значений параметра. Для устного решения можно предложить уравнения: 5) Решение. При а≤ 0 корней нет. При а>0 x= Ответ. При а≤ 0 корней нет. При а>0 x= 6) Решение. В этом примере нужно обратить внимание на то, что ОДЗ учитывается при решении. Ответ. При a=R x=1+a
9 класс Решите уравнение относительно x: 7) Решение уравнения начинаем с нахождения ОДЗ уравнения, а далее анализируем устно, как значения параметра а влияют на количество корней. Ответ. При a≤-1 x=-1 при a>-1 x=-1, x=0
Заключение Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами показывают глубокие знания свойств функций, изучаемых в курсе математики основной школы, умение логически мыслить, осуществляя анализ и синтез любой задачи школьных образовательных программ и жизненных ситуаций. Эти ребята имеют грамотную математическую речь, показывают прочные знания по математике и других предметам. Они владеют общеучебными умениями и навыками, что позволяет им самостоятельно приобретать знания, развивать свои творческие способности.
Используемые источники: 1. Апостолова Г. В. , Ясінський В. В. «Перші зустрічі з параметром» , Київ, «Факт» , 2006 г. 2. ВНО 2006 -2014 гг. 3. Бурлыга А. Я. «Интересные приёмы устного счёта» //Начальная школа, 1985 г. , № 5. 4. Зайцева О. П. «Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и в развитии личности ребёнка» // Начальная школа, 2001 г. , № 1 5. «Организационные формы обучения» под редакцией Ю. А. Малеванного, Киев, 1991 г. 6. maria 73. ucor. ru 7. festival. 1 september. ru 8. fs. nashaucheba. ru 9. kokoulina. jimdo. com 10. myshared. ru 11. nsportal. ru 12. nauka_shop. com 13. ppt_opline. org
Скачать презентацию Организация устной работы при решении уравнений с
e8b6a837655c05112eb0ccc4c47270f8.ppt