Оптимизацию ЗЛП обычно производят симплекс-методом с использованием симплекс-таблиц, в которые заносят преобразованную каноническую форму ЗЛП.
Пример 3. Построить симплекс-таблицу для оптимизации ЗЛП Примера 2 Таблица 1 БП Значения b x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 X (0) ={x 1=0, x 2=0, s 1=1000, s 2=25}.
Самостоятельная работа 2 Задание. При решении симплексметодом задачи линейного программирования с системой ограничений начальное допустимое базисное решение имеет вид … А. x 1= 0, x 2 = 0, s 1 = 9, s 2 = 8 В. x 1= 3, x 2 = 0, s 1 = 0, s 2 = -2 С. x 1= 4, x 2 = 0, s 1 = -3, s 2=0
Переход от одного базисного плана к другому сопровождается преобразованием симплекс-таблиц. Такой переход называется итерацией. Каждая итерация состоит из нескольких действий.
Итерация 1 1). Проверка критерия оптимальности. Если в строке Z симплекс-таблицы нет отрицательных значений, решение оптимально. У нас имеются отрицательные элементы. Следовательно, начальный план не оптимален. БП Значения b x 1 x 2 s 1 s 2 1000 25 5 0, 1 10 0, 3 1 0 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
2). Переход к новому ДБР 2. 1. Определение значения новой базисной переменной. Так как план не оптимален, нужно изменить базис (вести в него одну из переменных х1 или х2). Обычно в состав БП вводят СП xk, для которой отрицательная оценка наименьшая (наибольшая по модулю Столбец k при этом называют ведущим.
Выберем х2 в качестве новой базисной переменной (вводим в базис производство второго продукта) Столбец х2 - ведущий Таблица 1 БП Значения b x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
2. 2. Определение новой свободной переменной. Для определения новой свободной переменной составим отношения столбца значений базисной переменной (второго столбца «Значения b» ) к положительным элементам ведущего столбца х2 и найдем среди них минимальное В общем случае свободной делают БП xl, для которой отношение cвободного элемента к положительному элементу ведущего столбца минимальное: Строку l при этом называют ведущей.
Таблица 1 БП s 1 Значение x 1 b 1000 5 x 2 s 1 s 2 10 1 s 2 25 0, 1 0, 3 0 Z 0 -40 Δ 1 -100 Δ 2 0 0 y 1 y 2 b ׳ I /a ׳ ik
Минимальное значение достигается для S 2. Значит, базисная переменная S 2 переходит в свободные Таблица 1 БП s 1 Значение x 1 b 1000 5 x 2 s 1 s 2 10 1 s 2 25 0, 1 0, 3 0 Z 0 -40 Δ 1 -100 Δ 2 b ׳ I /a ׳ ik 0 0 y 1 y 2 Строка S 2 ведущая Число на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – ведущий элемент
2. 3. Пересчет симплекс-таблицы Для нового базиса S 1, x 2 составим новую симплекстаблицу. 2. 3. 1. Все элементы второй (ведущей) строки делим на ведущий элемент 0, 3 и получаем вторую строку новой таблицы. Таблица 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 y 1 y 2 s 1 x 2 Z Δ 1 Δ 2 b ׳ I /a ׳ ik
Таблица 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 b ׳ I /a ׳ ik s 1 x 2 Z 250/3 1/3 Δ 1 1 Δ 2 БП Значение b’ x 1 s 1 1000 s 2 25 0, 1 Z 0 -40 Δ 1 5 0 10/3 y 1 y 2 x 2 s 1 s 2 10 1 0 0 1 -100 0 0 Δ 2 y 1 y 2 Таблица 1 0, 3 b ׳ I /a ׳ ik
2. 3. 2. Остальные элементы новой таблицы получаем из соответствующих элементов старой таблицы. Каждому элементу соответствует один элемент в ведущей строке и один элемент в ведущем столбце. Формула для пересчета:
Пересчет первой строки Таблица 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 x 2 500/3 250/3 1 0 Δ 2 s 2 y 1 b ׳ I /a ׳ ik 10/3 Z Δ 1 y 2 Пересчет Значения b’ для S 1 БП Значение x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Пересчет первой строки БП Значение (b') x 1 s 1 x 2 500/3 250/3 5/3 1/3 x 2 s 1 1 0 Δ 2 Таблица 2 s 2 b ׳ I /a ׳ ik y 1 10/3 Z Δ 1 y 2 Пересчет х1 БП Значение x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 1000 5 10 1 0 s 2 25 0, 1 0, 3 0 1 Z 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Пересчет первой строки БП Значение (b') x 1 s 1 x 2 500/3 250/3 5/3 1/3 Таблица 2 s 2 b ׳ I /a ׳ ik x 2 s 1 0 Δ 2 y 1 10/3 Z Δ 1 y 2 Пересчет х2 БП Значен ие s 1 1000 s 2 Z x 1 x 2 s 1 s 2 5 10 1 0 25 0, 1 0, 3 0 1 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Пересчет первой строки БП Значение (b') x 1 s 1 x 2 500/3 250/3 5/3 1/3 x 2 s 1 Таблица 2 s 2 b ׳ I /a ׳ ik 0 1 1 0 10/3 Δ 2 y 1 y 2 Z Δ 1 Пересчет S 1 БП Значен ие s 1 1000 s 2 Z x 1 x 2 s 1 s 2 5 10 1 0 25 0, 1 0, 3 0 1 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Самостоятельная работа 3 Задание. Пересчитайте значение S 2 БП Значение x 1 x 2 s 1 s 2 1000 25 5 0, 1 10 1 0 Z 0 -40 Δ 1 -100 Δ 2 Варианты A. 80/3. ответов: С. 1. 0, 3 0 0 y 1 y 2 В. 100/3. D. 5/3. 0 1
Сверим ответы БП Значение (b') s 1 x 2 500/3 250/3 x 1 x 2 s 1 Таблица 2 s 2 b ׳ I /a ׳ ik 5/3 1/3 0 1 1 0 100/3 10/3 Δ 2 y 1 y 2 Z Δ 1 Пересчет S 2 БП Значение s 1 1000 s 2 Z x 1 x 2 s 1 s 2 5 10 1 0 25 0, 1 0, 3 0 1 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Таблица 2 b ׳ I /a ׳ ik Пересчет строки Z (аналогично первой) БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 x 2 500/3 250/3 Z 5/3 1/3 25000/3 Δ 1 Пересчет Значения b’ 0 1 1 0 100/3 10/3 Δ 2 y 1 y 2 БП Значение s 1 1000 s 2 Z x 1 x 2 s 1 s 2 5 10 1 0 25 0, 1 0, 3 0 1 0 -40 -100 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Пересчет строки Z БП Значение (b') s 1 x 2 Z 500/3 25000/3 Пересчет коэф. при х1 x 2 s 1 5/3 0 1 1/3 1 0 -20/3 Δ 1 Δ 2 y 1 Таблица 2 b ׳ I /a ׳ ik s 2 100/3 10/3 y 2 БП Значен ие s 1 1000 s 2 25 0, 1 Z 0 -40 Δ 1 x 1 5 x 2 s 1 s 2 10 1 0 0, 3 0 1 -100 0 0 Δ 2 y 1 y 2
Пересчет строки Z БП Значение (b') s 1 x 2 Z 500/3 25000/3 Пересчет коэф. при х2 x 1 x 2 s 1 5/3 0 1 1/3 1 0 -20/3 0 Δ 1 Δ 2 y 1 Таблица 2 b ׳ I /a ׳ ik s 2 100/3 10/3 y 2 БП Значен ие s 1 1000 s 2 25 0, 1 Z 0 -40 Δ 1 x 1 5 x 2 s 1 s 2 10 1 0 0, 3 0 1 -100 0 0 Δ 2 y 1 y 2
Таблица 2 БП Значение (b') s 1 x 2 Z 500/3 25000/3 x 1 x 2 s 1 5/3 0 1 1/3 1 0 -20/3 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 s 2 100/3 1000/3 y 2 Значения БП: Прибыль от производства S 1=500/3; продукции: Z=25000/3 x 2=250/3 Базисное решение прямой задачи: Х 1 = {x 1=0; x 2 = 250/3; S 1 = 500/3; S 2 = 0} b ׳ I /a ׳ ik
Итерация 2 1). Проверка критерия оптимальности. Если в последней строке симплекс-таблицы нет отрицательных значений, решение оптимально. У нас есть отрицательный элемент план не оптимален БП Значение (b') s 1 x 2 Z 500/3 25000/3 x 1 x 2 s 1 5/3 0 1 1/3 1 0 -20/3 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 Таблица 2 s 2 100/3 1000/3 y 2 b ׳ I /a ׳ ik
2). Переход к новому ДБР. 2. 1. Определение значения новой базисной переменной. Поскольку отрицательная оценка одна, то в базис нужно вводить переменную x 1. Столбец х1 будет ведущим Таблица 2 БП Значение (b') s 1 x 2 Z 500/3 25000/3 x 1 x 2 s 1 5/3 0 1 1/3 1 0 -20/3 0 0 Δ 1 Δ 2 y 1 s 2 100/3 1000/3 y 2 b ׳ I /a ׳ ik
2. 2. Определение новой свободной переменной. Составим отношения столбца «Значения b’» к положительным элементам ведущего столбца х1 и найдем среди них минимальное БП Значение x 1 x 2 s 1 s 2 b ׳ I /a ׳ ik (b') s 1 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 Z 250/3 1 0 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 Выводим из базиса переменную S 1
Ведущая строка БП Значение s 1 (b') 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 250/3 1 0 Z x 1 x 2 s 1 s 2 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 Ведущий элемент b ׳ I /a ׳ ik
2. 3. Пересчет симплекс-таблицы Для нового базиса х1, x 2 составим новую симплекстаблицу. 2. 3. 1. Все элементы первой (ведущей) строки делим на ведущий элемент 5/3 и получаем первую строку новой таблицы. Таблица 3 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 s 2 y 1 y 2 х1 x 2 Z Δ 1 Δ 2 b ׳ I /a ׳ ik
Таблица 3 БП Значение b ׳ x 1 x 2 s 1 s 2 x 1 x 2 Z 100 1 0 3/5 -20 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 БП Таблица 2 Значение (b') x 1 x 2 s 1 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 Z s 1 s 2
2. 3. 2. Остальные элементы новой таблицы получаем из соответствующих элементов старой таблицы. Каждому элементу соответствует один элемент в ведущей строке и один элемент в ведущем столбце. Формула для пересчета:
Пересчет второй строки БП Значение b ׳ x 1 Таблица 3 s 1 s 2 1 0 3/5 -20 Δ 1 x 2 Z x 2 Δ 2 y 1 y 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 100 50 Пересчет Значения b’ для х2 Z s 1 s 2
Пересчет второй строки БП Значение b ׳ x 1 Таблица 3 Пересчет s 1 s 2 1 0 0 3/5 -20 Δ 1 x 2 Z x 2 Δ 2 y 1 y 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 100 50 х1 Z s 1 s 2
Пересчет второй строки БП Значение b ׳ x 1 Таблица 3 Пересчет s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -20 Δ 1 x 2 Z x 2 Δ 2 y 1 y 2 БП Значение (b') x 1 x 2 s 1 500/3 5/3 0 1 100/3 x 2 250/3 1 0 10/3 25000/3 -20/3 0 0 1000/3 100 50 х2 Z s 1 s 2
Продолжая расчеты, получим: Таблица 3 БП x 1 x 2 Значение b ׳ 100 50 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2 Z
Проводим аналогичные расчеты для строки Z: Таблица 3 БП x 1 x 2 s 1 s 2 x 1 x 2 Значение b ׳ 100 50 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 Z 9000 0 0 4 200 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Итерация 3 Среди значений последней строки симплекстаблицы нет отрицательных! Поэтому эта таблица определяет оптимальные планы прямой и двойственной задач. БП Значение b ׳ x 1 x 2 s 1 s 2 x 1 x 2 100 50 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 Z 9000 0 0 4 200 Δ 1 Δ 2 y 1 y 2
Самостоятельная работа 4 Задание. Исходная симплекс-таблица задачи линейного программирования имеет вид: Тогда переменную … следует ввести в базис, а переменную … вывести из базиса. A. x 2 ввести, x 4 вывести. B. x 1 ввести, x 4 вывести C. x 2 ввести, x 3 вывести D. x 1 ввести, x 3 вывести
Сверим ответы? Ведущий столбец min 12/4=3 10/2=5 Ведущая строка Решение: х2 ввести, x 3 вывести
Самостоятельная работа 5 Задание. Оптимальная симплекс-таблица задачи линейного программирования (планирования производства продукции) имеет вид: Тогда оптимальный план выпуска продукции равен: А. x 1 = 0; x 2 = 2. С. x 3 = 1, 25; x 2 = 1. В. x 1 = 6; x 4 =6. D. x 2 = 2; x 4 = 6
Самостоятельная работа 6 Задание. Оптимальная симплекс-таблица задачи линейного программирования (планирования производства продукции) имеет вид: Тогда максимальное значение целевой функции равно А. 3 В. 6 С. 8 D. 1, 25
Анализ оптимальной симплекс-таблицы 1. Значения второго столбца определяют значения БП: x 1 =100; x 2 =50. Все переменные, не входящие в первый столбец, являются свободными и равны 0: s 1 =0, s 2 =0. БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2
Анализ оптимальной симплекс-таблицы Базисное решение прямой задачи: Х 2 = {x 1=100; x 2 = 50; S 1 = 0; S 2 = 0} БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2
Анализ оптимальной симплекс-таблицы 2. В последней строке определяются: § значение ЦФ прямой задачи Z=9000; § значения 0 в столбцах x 1 и x 2 означают, что производства первого и второго продуктов рентабельны: Δ 1=0, Δ 2=0. БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2
Анализ оптимальной симплекс-таблицы Значение 4 в столбце s 1 означает, что теневая цена 1 кг сырья равна 4 : y 1 =4; Значение 200 в столбце s 2 означает, что теневая цена работы 1 часа оборудования равна 200: y 2 =200. БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2
Анализ оптимальной симплекс-таблицы Оптимальное решение двойственной задачи: Y*={y 1=4, y 2=200, Δ 1=0, Δ 2=0} БП Значение b ׳ x 1 100 x 2 50 Z 9000 x 1 x 2 s 1 s 2 1 0 0 1 3/5 -1/5 -20 10 0 Δ 1 0 Δ 2 4 y 1 200 y 2
Скачать презентацию Оптимизацию ЗЛП обычно производят симплекс-методом с использованием симплекс-таблиц
симплекс-метод.pptx