Оптимизация рациона питания Основная цель исследования l

Оптимизация рациона питания

Основная цель исследования: l Составить меню оптимально дешевое и рациональное

Основная задача исследования С использованием методов линейного программирования из имеющихся в распоряжении видов продуктов составить меню, в котором удовлетворялись бы потребности организма в питательных веществах, причем стоимость его была бы минимальной

Задача № 1 (о пищевом рационе) Директору столовой нужно составить меню. В его распоряжении имеется 5 видов продуктов: хлеб, овощи, фрукты, мясо, рыба. Известно, что килограмм хлеба стоит с1 рублей, килограмм овощей -с2 рублей и т. д. Известно также, что килограмм хлеба содержит а 11 кг белков, а 12 кг жиров и а 13 кг углеводов и т. д. (содержание, белков, жиров и углеводов в килограмме каждого вида продуктов указано в таблице на рисунке 1). Требуется так составить меню, чтобы в нем содержалось не менее в 1 кг белков, не менее в 2 кг жиров и не менее в 3 кг углеводов, причем стоимость его была бы минимальной.

Таблица 1 стоимость 1 кг 1 с1 хлеб 2 с2 овощи белки жиры углеводы а 11 а 21 а 12 а 22 а 13 а 23 3 с3 фрукты а 31 а 32 а 33 4 с4 5 с5 мясо рыба а 42 а 52 в 2 а 43 а 53 в 3 а 41 а 51 в 1

Решение: 1 этап. Составление математической модели. l Пусть х1 –количество хлеба которое войдет в меню, тогда х2 –количество овощей и т. д. Тогда общая стоимость меню L, выразится равенством l Ограничения на питательность меню выражаются системой неравенств

2 этап. Работа с составленной моделью Наша задача приняла вид: найти неотрицательные значения переменных которые удовлетворяли бы системе неравенств и обращали в минимум функцию Это задача линейного программирования. Решить ее можно с помощью компьютера.

Задача № 2 (о диете) Даме необходимо похудеть, за помощью она обратилась к директору столовой. Директор посоветовал перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q. Суточное потребление этих продуктов должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке килограмма продукта Q- 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 15 рублей, а 1 кг продукта Q 25 рублей. Так как дама была стеснена в средствах, то ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег.

Таблица 2 продукты стоимость 1 кг продукта( руб) жиры калории Р 15 15 150 Q 25 4 200 14 300

Решение: 1 этап. Составление математической модели. Пусть х -это количество продукта Р, а у -количество продукта Q, тогда общая стоимость меню выразится равенством z=15 x+25 y. Ограничения на питательность выразятся системой неравенств:

2 этап. Работа с составленной моделью Наша задача приняла вид: найти неотрицательные значения переменных х и у, которые удовлетворяли бы системе ограничений и обращали бы функцию z=15 x+25 y в минимум. Решим эту задачу графическим методом. Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые.

l. Находим многоугольник, являющийся пересечением двух полуплоскостей, причем х>0, y>0 (в данном случае это треугольник DBC) l Построенную прямую перемещаем параллельно самой себе. Из рисунка следует, что наименьшее значение целевой функции достигается в точке С. Найдем координаты точки С: x=2/3, y=1

3 этап. Ответ на вопрос задачи Итак, отвечаем на вопрос задачи: в какой пропорции даме надо брать продукты P и Q, чтобы похудеть с наименьшими затратами. l Ответ: необходимо брать 2 части продукта P и 3 части продукта Q l

The end.