Оптимизация производственных процессов с помощью метода линейного программирования

Оптимизация производственных процессов с помощью метода линейного программирования (ЛП) 1. Общие понятия оптимизации 2. Применение методов линейного программирования для оптимизации процессов

1. Общие понятия оптимизации Методы оптимизации – методы, при реализации которых оптимальный результат получается не сразу, а в результате процесса (оптимизации) Решение - определенный выбор зависящих от нас параметров процесса. Оптимальное решение – решение по каким-либо признакам предпочтительное, чем другие. Элементы математической модели оптимизации: Переменные – величины, оптимальные значения которых необходимо найти. Параметры – постоянные величины, которые в процессе этого решения остаются неизменными и в модели представлены коэффициентами при переменных или свободными членами в уравнениях или неравенствах. Критерий оптимальности – принятый показатель меры эффективности исследуемой системы (при экстремальном значении целевой функции определяет оптимальное решение для заданных условий). Целевая функция – функция, которая связывает критерий оптимальности с переменными и параметрами. В процессе оптимизации определяется такие значения переменной величины, которые обращают значение целевой функции в максимум или минимум. Ограничения – области возможных значений переменных оптимальных величин в данных условиях изучаемой системы, внутри которых отыскивается оптимальное решение.

Линейное программирование — раздел математического программирования, изучающий задачу отыскания максимума (минимума) линейной функции при линейных ограничениях в виде равенств или неравенств. Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) формулируется: требуется определить максимум (или минимум) линейной функции n переменных x 1, x 2, …. . , xn при ограничениях: где сj(j = l, 2, . . n), aij(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), bi (г = 1, 2, . . . , m) — заданные числа.

2. Применение методов линейного программирования для оптимизации процессов Задача о выборе парка сельскохозяйственных машин и объеме их производства. Требуется определить, в каком количестве следует производить сельхозмашины разных классов, чтобы обеспечить максимальную эффективность уборки урожая при заданных ресурсах. Имеются два вида машин K 1 и K 2. Обозначим через x 1, x 2 количество машин K 1 и K 2, C 1 и С 2 — среднюю производительность машины, b 1, b 2, b 3, b 4 — количество ограниченных ресурсов (стоимость, рабочая сила, дефицитные материалы и т. д. ), которые отпускаются на производство сельскохозяйственных комплексов. ai 1 и ai 2 —количество единиц i-го ресурса (i=l, 4), необходимое для производства одного комплекса первого и второго типа. Значения для величин приведены в табл. Необходимо для производства одного комплекса Виды ресурсов Количество ресурсов K 1 S 2 S 3 S 4 b 1 = 360 b 2 = 240 b 3 = 270 b 4 = 200 Производительность комплекса (у. е. ) K 2 a 1, 1 = 3 a 2, 1 = 1 a 3, 1 = 3 a 4, 1 = 0 a 1, 2 = 2 a 2, 2 = 2 a 3, 2 = 0 a 4, 2 = 2 С 1 =12 С 2 = 10

Сформулируем ОЗЛП применительно к условиям задачи: требуется максимизировать линейную форму (целевая функция) L=12 x 1 + 10 x 2 → max при следующих неравенствах: (1) Порядок решения ОЗЛП графическим методом: 1 этап. Для решения задачи, перейдем от неравенств к уравнениям. Обозначим остаток неизрасходованных ресурсов первого типа х3, второго типа х4, третьего типа х5, четвертого типа х6, то получим исходное базисное решение (2)

2 этап. Базисные переменные х3, х4, х5, х6 должны быть положительны. Следовательно, систему уравнений (2) можно записать в виде неравенств (3) Добавим к системе два неравенства x 1 >0, х2 > 0 3 этап. Найдем допустимую область возможных решений, удовлетворяющую этим неравенствам. Для этого в прямоугольной системе координат построим прямые

При х3=0 уравнение преобразуется 3 х1+2 х2=360, на плоскости линия строится по двум точкам: при х2=0, 3 х1= 360 при х1=2 2 х2=360, отсюда 2 точки, х1=120, х2=180 Х 2 Область допустимых решений (ОДЗ) 180 150 Самая удаленная точка ОДЗ 120 90 60 30 60 90 120 150 180 210 240 Х 1

Область допустимых решений системы показана на рис. Стрелками около прямых указано, какие полуплоскости в пересечении дают область допустимых решений. Всякая точка внутри области будет удовлетворять системе неравенств (3), т. е. ее координаты будут решением системы. Область допустимых решений

4 этап. Найдем решение, которое обеспечивает максимум целевой функции. А) (см. учебник - М. П. Переверзев, С. И. Логвинов, С. С. Логвинов Организация производства на предприятиях отрасли/ Курс лекций - Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2005 ) Возьмем в области допустимых решений любую точку, например Р 0 (60, 50), которой соответствуют переменные Х 1=60, Х 2 = 50. Целевая функция в этом случае будет иметь значение L=12 x 1 + 10 x 2 = 720 + 500 =1220. Подставив это значение L в выражение ( ), получим уравнение прямой 12 x 1 + 10 x 2 =1220, или 12 x 1 + 10 x 2 — 1220 = 0. Любая точка этой прямой обеспечивает значение L=1220. Перемещая полученную прямую параллельно самой себе в сторону увеличения L, находим оптимальное решение. Перемещение прекращается, когда все точки области решений неравенств останутся по одну сторону от этой прямой. Б)Из рис. ясно, что оптимальному решению соответствует точка пересечения прямых III и IV, т е. одна из вершин многоугольника допустимых решений. Для определения координат этой вершины решим совместно уравнения прямых III и IV: 3 x 1 + 2 x 2 – 360=0 x 1 + 2 x 2 – 240=0 В результате решения получим x 1 = 60; х2 = 90; х3=0; х4=0; х5 = 90; х6 = 20 и L = 1620. Таким образом, необходимо выпускать 60 комплексов первого типа и 90 комплексов второго типа. Анализ полученных решений показывает, что оптимальное решение всегда находится на границе допустимой области в одной из вершин многоугольника. На этом свойстве и основаны все методы линейного программирования.

Решение ОЗЛП симплексным методом Рассмотрим идею симплексного метода на примере Прибыль от производства 2 изделий определяется целевой функцией: П= Х 1+2 Х 2 – максимум При ограничениях в трех цехах по ресурсам: Х 1+Х 2 ≤ 8 Х 1≤ 6 Х 2≤ 4 Х 1, Х 2≥ 0 Решение: 1. Приведем исходную задачу к ОЗЛП (за счет ввода новых дополнительных переменных переведем неравенства в равенства) – смотри геометрический метод. Получим каноническую форму ОЗЛП: Х 1+Х 2+Х 3=8 Х 1+Х 4=6 Х 2+Х 5=4, Где Х 3…Х 5 – искусственно введенные переменные (базисные) 2. Разрешаем систему относительно введенных дополнительных переменных Х 3=8 -Х 1 -Х 2 Х 4=6 -Х 1 Х 5=4 - Х 2 П= Х 1+2 Х 2 – переменные в целевой функции называются свободными

3. Находим первое базисное решение приравняв свободные переменные « 0» Х 1=Х 2=0 Подставив значения в целевую функцию и ограничения получим: П=0, Х 3=8, Х 4=6, Х 5=4 – т. е. это решение соответствует 0 -точке на графике, или тому положению предприятия, когда оно не выпускает изделий и ресурсы не использованы ни в одном производственном подразделении. 4. Определяем новое базисное решение. Заменим свободную переменную в целевой функции на базисную (соответствует поиску решения по контуру графика – см. предыдущий пример). Выберем для замены свободную переменную, которая быстрее увеличивает выбранный критерий (прибыль) – Х 2, т. к. она имеет коэффициент 2 Для выбора заменяемой базисной переменной проанализируем систему уравнений на предыдущем шаге. При изменении Х 2 быстрее обращается в 0 переменная Х 5 – при значении 4, т. к. Х 3 при значении 8 Переведем Х 2 в базисные, заменив ее на Х 5, тогда Х 2=4 - Х 5 Х 3=8 -Х 1 -(4 - Х 5) =4 -Х 1+Х 5 Х 4=6 -Х 1 Целевая функция : П=Х 1+2(4 - Х 5)=Х 1 -2 Х 5+8 Базисное решение при этом при Х 1=Х 5=0 будет: П=8, Х 2=4, Х 3=4. Это говорит о том, что ресурсы израсходованы полностью в третьем подразделении и частично в первом и втором. Выпуск изделий происходит только 2 типа (4 штуки). Прибыль предприятия – 8 единиц

Проанализируем решение на оптимальность. Правило – если при анализе на оптимальность целевой функции ее коэффициенты при свободных переменных отрицательны, то она оптимальна, если есть положительны то необходимо продолжить поиск. Вывод: решение достигнутое на этом шагу (итерации) неоптимальное. Определяем новое базисное решение (проводим очередную итерацию). Заменяем свободную переменную с наибольшим положительным коэффициентом на выбранную базисную Х 1 на Х 3, т. к. при анализе предыдущей системы уравнений на предыдущем шаге Х 3 обращается при 4, а Х 4 при 6. Переводим в свободные переменные Х 3 Х 2=4 - Х 5 Х 1=4 - Х 3+Х 5 Х 4=6 –(4 - Х 3+Х 5)=2+Х 3 -Х 5 Целевая функция: П= Х 1 -Х 5+8 = 4 - Х 3+Х 5 – 2 Х 5+8= 12 -Х 3 -Х 5 Вывод – целевая функция оптимальна, т. е. оптимальное решение достигнуто. Находим параметры этого базисного решения приравняв свободные переменные Х 3 = Х 5 =0. Прибыль П= 12, количество выпушенной продукции при оптимальном плане Х 1=4, Х 2=4, Ресурсы. Х 3 и. Х 5 =0 – израсходованы полностью, Х 4 – есть остаток ресурсов 2 единицы

Решение задачи оптимизации с применением офисных программ. 1 этап – введем исходные данные и формулы для расчета:

Культура Урожайность, ц Затраты труда, чел. -дней Материаль. Норма но-денежные высева затраты, тыс. семян*, ц руб. Озимая пшеница 32 2, 7 Озимая рожь 32 Яровая пшеница 28 Ячмень 30 1, 8 1, 12 3, 38 2, 26 26, 8 Овес 24 1, 5 0, 92 2, 1 2, 63 1, 71 21, 9 Горох 15 2 0, 84 3, 3 2, 28 1, 44 11, 7 Просо 10 2, 6 0, 48 0, 22 2, 12 1, 64 9, 78 Гречиха 10 2, 4 0, 46 1, 2 6, 53 6, 07 8, 8 Сахарная свекла 250 30 5, 8 7, 5 1, 7 Подсолнеч ник 10 1, 32 2, 8 Объем Прибыль, «Урожайн реализации, тыс. руб. ость» – тыс. руб. «семена» 4, 96 3, 64 29, 2 2, 7 1, 21 2, 8 4, 42 3, 21 29, 2 2, 4 1, 18 2, 8 3, 78 2, 6 25, 2 250 1, 8 0, 9 3, 38 2, 48 10

Ограничения по с/х предприятию: Площадь пашни, га 3500 Труд, чел. /час 56000 площадь зерновых, га 2700 пл озимые мин , га 900 пл озимые мах , га 1350 пл. проса , га 225 пл. гречихи , га 225 пл. свеклы , га 675 пл. подсолнечн , га 540

площадь сельскохозяйственных угодий — 4875 га, в том числе пашни 3500, естественных пастбищ 250, естественных сенокосов 125 га. В сельскохозяйственном производстве на этом направлении могут быть занято до 200 человек. При нормальной годовой занятости 280 дней фонд рабочего времени хозяйства составляет 56 000 человеко-дней. Культура Урожайность, ц Затраты труда, чел. -дней Материально-денежные затраты, тыс. руб. Норма высева семян*, ц Объем реализации, тыс. руб. Прибыль, тыс. руб. Озимая пшеница 32 2, 7 1, 32 2, 8 4, 96 3, 64 Озимая рожь 32 2, 7 1, 21 2, 8 4, 42 3, 21 Яровая пшеница 28 2, 4 1, 18 2, 8 3, 78 2, 6 Ячмень 30 1, 8 1, 12 3, 38 2, 26 Овес 24 1, 5 0, 92 2, 1 2, 63 1, 71 Горох 15 2 0, 84 3, 3 2, 28 1, 44 Просо 10 2, 6 0, 48 0, 22 2, 12 1, 64 Гречиха 10 2, 4 0, 46 1, 2 6, 53 6, 07 Сахарная свекла 250 30 5, 8 7, 5 1, 7 Подсолнечник 10 1, 8 0, 9 3, 38 2, 48

Культура План (ц. ) min Площадь Озимая пшеница 2700 (озимая и яровая) 900 min 1350 max Озимая рожь 1800 Яровая пшеница Ячмень 2000 Овес 800 Горох 1800 Просо 800 225 max Гречиха 520 225 max Сахарная свекла 90000 675 max Подсолнечник 420 540 max Площадь посева зерновых (га): 2700 max, 2250 min План продажи пшеницы, ц: >2700. ржи, ц: > 1800. ячменя, ц: >2000. овса, ц: >800. гороха, ц: > 1800. проса, ц: >800. гречихи, ц: >520. сахарной свеклы, ц: >90000. подсолнечника, ц: >420.

Обозначения Площади посева (га): Х 1 — озимая пшеница; Х 2 — озимая рожь; Х 3 — яровая пшеница; Х 4 —ячмень; Х 5 — овес; Х 6 —горох; Х 7 —просо; Х 8 —гречиха; Х 9 — сахарная свекла; Х 10 — подсолнечник. Ограничения: 1. Затраты труда, чел. -дней: 2, 7 X 1 + 2, 7 Х 2 + 2, 4 Х 3 + 1, 8 Х 4 + 1, 5 Х 5 + 2 Х 6 + 2, 6 Х 7 + 2, 4 Х 8 + 30 Х 9 + 1, 8 Х 10 + ≤ 56000. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Площадь пашни, га: X 1 + Х 2 + Х 3 + Х 4 + Х 5 + Х 6 + Х 7 + Х 8 + Х 9 + Х 10 < 3500. Площадь посева зерновых, min (га): X 1 + Х 2 + Х 3 + Х 4 + Х 5 + Х 6 + Х 7 + Х 8 > 2250. Площадь посева зерновых, max (га): X 1 + Х 2 + Х 3 + Х 4 + Х 5 + Х 6 + Х 7 + Х 8 ≤ 2700. Озимые, min (га): Х 1 + Х 2>900. Озимые, max (га): Х 1 + Х 2≤ 1350. Площадь проса, max (га): Х 7 ≤ 225. Площадь гречихи, max (га) Х 8 ≤ 225. Площадь сахарной свеклы, max (га): Х 9 ≤ 675. Площадь подсолнечника, max (га): Х 10≤ 540. План продажи пшеницы, ц: 29, 2 Х 1+ 25, 2 Х 3>2700. План продажи ржи, ц: 29, 2 Х 2> 1800. План продажи ячменя, ц: 26, 8 Х 4>2000. План продажи овса, ц: 21, 9 Х 5>800. План продажи гороха, ц 11, 7 Х 6> 1800. План продажи проса, ц: 9, 8 Х 7>800. План продажи гречихи, ц: 8, 8 Х 8>520. План продажи сахарной свеклы, ц: 250 Х 9>90000. План продажи подсолнечника, ц: 10 Х 10>420. Целевая функция — максимум прибыли: Z = 3, 64 X 1 + 3, 21 Х 2 + 2, 6 Х 3 + 2, 26 Х 4 + 1, 71 Х 5 + 1, 44 Х 6 + 1, 64 Х 7 + 6, 07 Х 8 + 1, 7 Х 9 + 2, 48 Х 10 -> max.