ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКОМАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ Лекції 3 -4 1

ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКОМАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ Лекції 3 -4 1

План Основні відомості про оптимізацію n Математичні моделі економічних задач. Оптимізаційні моделі n Приклади оптимізаційних задач n Теорія двоїстості n Розв’язок оптимізаційних задач n 2

Основні відомості про оптимізацію 3

n Теорія оптимізації є математичною дисципліною, що займається вивченням та дослідженням екстремальних задач та розробкою методів їх розв'язку. 4

Математично формалізована задача оптимізації в загальному вигляді має вигляд n Змінна Q - критерій оптимізації – є кількісною характеристикою результатів, що отримуються. n Керовані змінні х1 х2. . . хn – характеризують умови, на які можна впливати з метою отримання найкращих результатів n Некеровані змінні ai βi – характеризують умови, на які не можна вплинути і які визначаються зовнішніми факторами 5

n n Дослідженням та розв’язком оптимізаційних задач займається спеціальна дисципліна, що носить назву математичного програмування В залежності від властивостей функції F та a задачі математичного програмування – поділяються на задачі лінійного і нелінійного (опуклого, квадратичного) програмування – окремими класами задач є задачі цілочислового, параметричного, дискретного, комбінаторного і дробово - лінійного програмування. n n В залежності від властивостей змінних вирізняють класи задач стохастичного та динамічного програмування – задачі, змінні яких змінюються у часі і процес розв'язку яких є багатоетапним відноситься до задач динамічного програмування – в задачах стохастичного програмування змінні є випадковими величинами 6

Математична модель будьякої задачі лінійного програмування містить: Цільову функцію (функцію мети), максимум або мінімум (оптимум) якої потрібно знайти за умовою; n обмеження у вигляді системи лінійних рівнянь (нерівностей); n умову невід'ємності змінних. n 7

В загальному вигляді модель задачі лінійного програмування зводиться до наступного: 8

Або за іншою формою запису 9

Матрична форма запису Знайти оптимум функції F=CX за умов AX=B 10

Приклади задач лінійного програмування Задачі планування виробництва Задачі складання раціону(сумішей) Транспортні задачі 11

Задача планування виробництва 12

n n n Для виробництва певних товарів використовується деяка кількість різного роду ресурсів (сировина, знаряддя, праця тощо). Відомо: – скільки одиниць кожного ресурсу використовується для виробництва одиниці кожного товару, – запас кожного ресурсу – також прибуток від реалізації одиниці кожного товару. З економічної точки зору задача полягає в наступному: – треба так запланувати виробництво товарів, щоб при використанні наявних ресурсів загальний прибуток від виробництва був найбільшим. 13

14

Математична модель задачі планування виробництва: 15

де: n n n m – кількість ресурсів, що використовуються у виробництві; n – кількість товарів, що можуть вироблятись з наявних ресурсів; aij – кількість одиниць і-го ресурсу, що використовується для виробництва одиниці jго товару; bj-максимальна кількість одиниць і-го ресурсу, що можна використати у виробництві (запас одиниць і-го ресурсу); cj-прибуток від реалізації одиниці j-го товару; xj-кількість одиниці j-го товару, що планується виробити (шукані величини). 16

Приклад задачі планування виробництва n n Кондитерська фабрика для виготовлення трьох видів карамелі «Му-му» , «Слива» , «Ягідка» використовує три види сировини. Норми витрат сировини кожного виду на виробництво 1 Т карамелі даного виду, запас сировини, прибуток від реалізації 1 т карамелі даного виду наведені у таблиці. Вид сировини Норми витрат сировини (т) на 1(т) карамелі «Му-му» «Слива» «Ягідка» Загальна кількість сировини (т) Цукор 0, 8 0, 5 0, 6 800 Патока 0, 2 0, 4 0, 3 600 Фруктове пюре 0 0, 1 120 Прибуток 108 112 126 17

Математична модель задачі 18

Задача складання раціону 19

n n n Для підтримки нормальної життєдіяльності людини використовуються продукти харчування, що містять у певній кількості поживні речовини. Відомо: – скільки одиниць кожної поживної речовини міститься в одиниці кожного продукту – мінімальна добова потреба в кожній поживній речовині – вартість одиниці кожного продукту. З економічної точки зору задача полягає в наступному: треба так скласти добовий раціон, щоб задовольнити мінімальну добову потребу в поживних речовинах і загальна вартість раціону була б мінімальною. 20

21

де: n n n m – число поживних речовин, що містяться в продуктах ; n – кількість продуктів, що використовуються для харчування ; aij – кількість одиниць і-ої поживної речовини, що міститься в одиниці j-го продукту ; bj -мінімальна добова потреба в і-ій поживній речовині при харчуванні; ; cj- ціна j-го продукту ; кількість одиниць j-го продукту, що планується використати в добовому раціоні (шукані величини) 22

Приклад задачі складання раціону n n Для підтримки нормальної життєдіяльності людині кожного дня необхідно споживати не менше 118 г білків, 56 г жирів, 500 г вуглеводів, 8 г мінеральних солей. Кількість харчових речовин, що знаходяться в 1 кг кожного виду продуктів, а також ціна кожного з цих продуктів наведені в таблиці. 23

Поживні речовини Вміст (г) поживних речовин в 1 кг продуктів М'ясо Риба Моло Маско ло Сир Крупа Картопля Білки 180 190 30 10 260 130 21 Жири 20 3 40 865 310 30 2 Вуглеводи 0 0 50 6 20 650 200 Мінеральні солі 9 10 7 12 60 20 10 Ціна 1 кг продуктів (грн. ) 40 40 3 20 40 5 2 24

Транспортна задача 25

n У пунктах постачання А 1, А 2, . . . Аm міститься однорідний товар, що потрібно перевести в пункти споживання В 1, В 2, . . . Вn. Відомо: n Припустимо, що виконується умова балансу n Тоді з економічної точки зору задача полягає в наступному: потрібно так запланувати перевезення товарів з пунктів постачання в пункти споживання, щоб весь товар був вивезений, всі потреби були задоволені і водночас загальна вартість усіх перевезень була б мінімальною. n – скільки одиниць товару є в кожному пункті постачання – скільки одиниць товару потребує кожний пункт споживання – вартість переведення одиниці товару з з кожного пункту постачання в пункт споживання. – загальна кількість одиниці товару, що містять пункти постачання збігається з загальною кількістю одиниць товару, що потребують пункти споживання. 26

Псп В 1 В 2 c 11 c 12 . . . Вj Вn . . . Запа с Ппост A 1 c 1 j x 11 A 2 c 21 x 12 c 2 j Ai . . . ci 1 … Am . . . cm 1 . . . ai xin . . cmn xm 2 am xmj. . . cin cmj b 2 x 2 n xij cm 2 b 1 . . . cij xm 1 Потреби . . . xi 2 . . . a 2 x 2 j ci 2 xi 1 x 1 n c 2 n x 22 . . . a 1 x 1 j c 22 x 21 … c 1 n bj xmn. . . bn 27

n n n m - кількість пунктів постачання ; n - кількість пунктів споживання; ai - кількість одиниць товару, що міститься в і-му пункті постачання; bj - кількість одиниць товару, що потребує j-ий пункт споживання; cij - вартість перевезення одиниці товару з і-го пункту постачання в j-ий пункт споживання; xij - кількість одиниць товару, що планується перевезти з і-го пункту постачання в j-ий пункт споживання (шукані величини). 28

29