Оптимізаційне моделювання використовують для пошуку оптимального рішення деякої

Оптимізаційне моделювання використовують для пошуку оптимального рішення деякої функції при певних заданих умовах.

Для прикладу розглянемо задачу оптимізації випуску фірмою двох видів фарб: фірмі потрібно визначити об’єми виробництва кожної з фарб, які максимізують прибуток від реалізації продукції, з врахуванням обмежень на попит і витрати вихідних продуктів.

Невелика фірма виготовляє два види фарб: для внутрішніх робіт (В) і зовнішніх (З). Продукція обох видів поступає в оптову торгівлю. Для виробництва фарб використовуються два вихідних продукти – А і Б. Максимально допустимі добові запаси цих продуктів становлять 6 і 8 т відповідно. Вихідний продукт Витрати вихідних продуктів Максимально (у тонах) на тону фарби можливий запас, т Фарба В Фарба З А 1 2 6 Б 2 1 8 Добовий попит на фарбу В ніколи не перевищує попит на фарбу З більше ніж на 1 т. Попит на фарбу В ніколи не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тони фарби: 2 тис. грн. для фарби В, 3 тис. грн. для фарби З. Яку кількість фарби кожного виду повинна виробляти фірма, щоб прибуток від реалізації продукції був максимальний?

Математична модель задачі Процес побудови математичної моделі починається з відповідей на 3 наступні запитання: 1. Для визначення яких величин повинна бути побудована модель? (як ідентифікувати змінні даної задачі? ) 2. У чому полягає мета, для досягнення якої з усіх припустимих змінних потрібно вибрати ті, що будуть відповідати оптимальному рішенню задачі? 3. Які обмеження мають бути накладені на змінні, щоб виконувались умови, характерні для системи, що моделюється?

1. Шукані змінні: Оскільки потрібно визначити об’єми виробництва кожного виду фарби, змінними в моделі є: Фарба. В - добовий об’єм виробництва фарби для внутрішніх робіт Фарба. З - добовий об’єм виробництва фарби для зовнішніх робіт

2. Цільова функція: Оскільки вартість 1 т фарби зовнішньої рівна 3 тис. грн. , добовий прибуток від її реалізації складе 3 * Фарба. З Оскільки вартість 1 т фарби внутрішньої рівна 2 тис. грн. , добовий прибуток від її реалізації складе 2 * Фарба. В Позначимо сукупний дохід (в тис. грн. ) через Z. Тоді математичне формулювання цільової функції: Визначити припустимі значення змінних Фарба. З і Фарба. В, максимізуючи величину загального прибутку: Z = 3 * Фарба. З + 2 * Фарба. В

3. Обмеження задачі: • максимально можливий запас продукту А: Фарба. З + 2 * Фарба. В <= 6 • максимально можливий запас продукту Б: 2 * Фарба. З + Фарба. В <= 8 • перевищення попиту на фарбу В відносно попиту на фарбу З: Фарба. В - Фарба. З <= 1 • попит на фарбу В: Фарба. В <= 2

Неявні обмеження задачі: Неявне обмеження задачі полягає в тому, що об’єми виробництва продукції не можуть приймати від’ємних значень. Щоб попередити отримання таких неприпустимих рішень, введемо умову невід’ємості змінних, тобто обмеження на знак: Фарба. В >= 0 Фарба. З >= 0

Отже математичне формулювання задачі: Визначити добові об’єми виробництва фарб (Фарба. З і Фарба. В), при яких досягається max Z = 3 * Фарба. З + 2 * Фарба. В при обмеженнях: Фарба. З + 2 * Фарба. В <= 6 2 * Фарба. З + - Фарба. З + Фарба. З Фарба. В <= 8 Фарба. В <= 1 Фарба. В <= 2 Фарба. В >= 0

Для знаходження оптимального рішення задачі використаємо засіб Поиск решения – додатковий інструмент програми MS Excel. Для доступу до засобу використовується команда Поиск решения в меню Сервис. В разі відсутності команди в меню потрібно: • виконати команду Сервис / Надстройки; • у діалоговому вікні Надстройки встановити прапорець Поиск решения в області Список надстроек і натиснути кнопку ОК.

Для надання засобу Поиск решения необхідної інформації потрібно підготувати робочий аркуш: 1. Створіть розділ Шукані змінні в якому: Ø в стовпці А введіть імена змінних; Ø в стовпці В введіть початкові значення змінних. (Для того, щоб почати роботу з засобом Пошук рішення, не суттєво, які саме значення будуть введені в ці комірки. )

Ø присвойте коміркам, що містять значення змінних, змістовні імена. Щоб присвоїти ім’я коміркам: • виділіть діапазон, що включає комірки з іменами і значеннями змінних (діапазон A 2: B 3 ); • виконайте команду Вставка /Имя /Создать; • переконайтесь, що у діалоговому вікні Создать имена встановлений прапорець в столбце слева і натисніть кнопку ОК.

2. Створіть розділ Цільова функція і в комірку праворуч (у стовпці В) введіть формулу цільової функції. 3. Створіть розділ Обмеження в якому: Ø в стовпці А введіть назви обмежень; Ø в стовпці В введіть формули обмежень; Ø в стовпці С введіть сталі правої частини обмежень.

Оптимізація цільової функції 1. Виконайте команду Сервис /Поиск решения. (В разі відсутності команди Поиск решения, виконайте команду Сервис /Надстройки і у діалоговому вікні Надстройки встановіть прапорець Поиск решения в області Список надстроек. ) 2. У діалоговому вікні Поиск решения: Ø Вкажіть комірку з цільовою функцією. Для цього: • клацніть в полі Установить целевую ячейку вікна Поиск решения; • клацніть в комірці робочого аркуша, яка містить цільову функцію (В 5).

ØПеремикач Равной встановіть в положення, що відповідає меті оптимізації. У випадку максимізації прибутків – в положення максимальному значению. Ø Вкажіть комірки, значення в яких засіб Поиск решения повинен змінювати в процесі оптимізації (так звані змінювані комірки). Для цього : • клацніть в полі Изменяя ячейки вікна Поиск решения; • вкажіть діапазон змінюваних комірок робочого аркуша (комірки з шуканими змінними В 2: В 3).

3. Визначте обмеження моделі. Для цього відкрийте діалогове вікно Добавление ограничения, клацнувши на кнопці Добавить вікна Поиск решения. Для додання обмеження: • клацніть в полі Ссылка на ячейку вікна Добавление ограничения; • клацніть в комірці робочого аркуша, яка містить формулу обмеження; • виберіть із списку, що розкривається, вікна Добавление ограничения необхідний оператор порівняння, який буде використовуватись при порівнянні результату обчислення за формулою обмеження і заданої сталої обмеження;

• клацніть в полі Ограничение вікна Добавление ограничения; • клацніть в комірці робочого аркуша, яка містить сталу обмеження. Повторіть дії даного пункту для всіх обмежень моделі і клацніть на кнопці ОК діалогового вікна Добавление ограничения. При потребі обмеження можна змінювати і видаляти.

Порівняйте записи обмежень: Запис обмеження у математичній моделі: Фарба. З + 2 * Фарба. В <= 6 Запис обмеження в МS Excel: Увага! Знак обмеження вводиться тільки у вікні Добавление ограничения шляхом вибору зі списку

4. Для знаходження оптимального рішення клацніть на кнопці Выполнить діалогового вікна Поиск решения. Excel почне пошук рішення.

У випадку успішного завершення пошуку на екрані з’явиться діалогове вікно Результаты поиска решения з пропозицією зберегти знайдене рішення. 5. Клацніть на кнопці ОК вікна Результаты поиска решения для заміни початкових значень змінних значеннями, знайденими в процесі оптимізації.

В робочому аркуші в комірках змінних і цільової функції будуть відображені результати оптимізації.